Audio dərs · Müddət
14:03
Mətn (transkript)
Təsəvvür edin: geniş, düz bir çəmənlik. Çəmənliyin ortasında, yerdən səkkiz metr hündürlükdə kiçik bir dron havada asılıb qalıb. Dronun üstündə siqnal ötürən bir cihaz var. Sadə bir model qəbul edək: bu siqnal hər istiqamətə, yuxarıya, aşağıya və yanlara, dəqiq on metr məsafəyə qədər çatır. Bu məsələni dərslikdən götürməmişik, bu, bizim öz modelimizdir; əsl siqnal ağaclardan, binalardan və havadan da asılı olur. Bir qız telefonunu otun üstünə, dronun düz altındakı nöqtədən altı metr aralıya qoyur. Telefon siqnalı tutacaqmı? Çəmənliyin hansı hissəsinə siqnal çatır və o hissənin kənarı necə bir xətdir? Dron yuxarı qalxsa, nə dəyişəcək? Bu suallara dərsin sonunda qayıdacağıq. Salam! Bugünkü mövzumuz sferanın tənliyidir. Fəzada iki nöqtə arasındakı məsafəni tapmağı artıq bilirsiniz, müstəvinin tənliyini də öyrənmisiniz. Bu gün əvvəlcə sferanın nə olduğunu dəqiqləşdirəcəyik. Sonra onun tənliyini quracağıq və tənliyə baxıb sferanın mərkəzini və radiusunu tapmağı öyrənəcəyik, hətta tənlik gizli şəkildə verilsə belə. Ardınca nöqtənin sferanın içində, üstündə, yoxsa xaricində olduğunu yoxlayacağıq. Sonra müstəvi sferanı kəsəndə nə alındığına baxacağıq. Ən sonda isə çəmənliyə və drona qayıdacağıq. Birinci fəsil: sfera nədir. Dərslikdəki tərif belədir: verilmiş bir nöqtədən eyni məsafədə olan bütün nöqtələr çoxluğuna sfera deyilir. Həmin nöqtə sferanın mərkəzi, bu məsafə isə sferanın radiusu adlanır. Müstəvidə eyni tərif bizə çevrə verir. Fəzada isə nöqtələr hər istiqamətə yayılır və topun səthinə bənzəyən bir səth alınır. Diqqət edin: sfera yalnız səthdir, topun nazik qabığı kimi. Topun içindəki nöqtələr mərkəzə radiusdan daha yaxındır, ona görə onlar sferanın daxilində qalır. Bizim dron da belədir. Siqnalın çatdığı ən uzaq nöqtələr, yəni siqnal zonasının sərhədi, mərkəzi dronda olan və radiusu on metr olan bir sferadır. Zonanın özü isə bu sferanın daxilidir. İkinci fəsil: sferanın tənliyi. İndi koordinatları köməyə çağıraq. Tutaq ki, sferanın mərkəzinin koordinatları məlumdur, radiusu da məlumdur. Fəzada istənilən bir nöqtə götürək. Bu nöqtə sferanın üzərindədirsə, onunla mərkəz arasındakı məsafə radiusa bərabərdir. Məsafəni necə tapdığımızı xatırlayın: iks koordinatlarının fərqinin kvadratı, iqrek koordinatlarının fərqinin kvadratı və zet koordinatlarının fərqinin kvadratı toplanır, sonra cəmdən kvadrat kök alınır. Kökdən qurtulmaq üçün bərabərliyin hər iki tərəfini kvadrata yüksəldirik. Beləliklə, sferanın tənliyini sözlə belə deyə bilərik: iksdən mərkəzin iks koordinatını çıxırıq və fərqi kvadrata yüksəldirik; iqrek və zet üçün də eyni işi görürük; bu üç kvadratın cəmi radiusun kvadratına bərabərdir. Bu, bugünkü dərsin yeganə düsturudur. Mərkəz koordinat başlanğıcında olanda tənlik daha da sadələşir: iks kvadrat üstəgəl iqrek kvadrat üstəgəl zet kvadrat radiusun kvadratına bərabərdir. Dərslik burada daha bir şeyə diqqət çəkir: belə sferanı O iks iqrek müstəvisi düz ortadan kəsir və kəsikdə sferanın böyük çevrəsi alınır, yəni sferanın üzərində çəkilə bilən ən böyük çevrə. Dronumuza qayıdaq. Koordinatları belə seçək: başlanğıc nöqtəsi yerdə, dronun düz altındadır. İks və iqrek oxları çəmənliyin üstü ilə uzanır, zet oxu isə düz yuxarı baxır. Bir vahid bir metrə bərabərdir. Onda çəmənliyin özü O iks iqrek müstəvisidir, dron isə zet oxunun üzərində, koordinatları sıfır, sıfır və səkkiz olan nöqtədədir. Siqnal zonasının sərhədinin tənliyi belədir: iks kvadrat üstəgəl iqrek kvadrat üstəgəl zet ilə səkkizin fərqinin kvadratı yüzə bərabərdir. Radius on metrdir, ona görə sağ tərəfdə radiusun kvadratı, yəni yüz durur. Üçüncü fəsil: tənliyi oxumaq. Tənlik verilib, mərkəzi və radiusu tapmaq lazımdır. Burada iki tələ var. Birinci tələ işarədir. Tənlikdə mötərizənin içində həmişə koordinatdan mərkəzin koordinatı çıxılır. Ona görə mötərizədə iqrek üstəgəl iki yazılıbsa, mərkəzin iqrek koordinatı mənfi ikidir. İkinci tələ radiusdur: sağ tərəfdə radiusun özü yox, onun kvadratı durur. Dərslikdəki bir tapşırıqda sferanın mərkəzi bir, mənfi iki və dörd koordinatlı nöqtədədir, radiusu isə altıdır. Cavabda mötərizələr iks mənfi bir, iqrek üstəgəl iki və zet mənfi dörd olur, sağ tərəfdə isə otuz altı durur. Tənliyi tərsinə oxuyanda işarələri dəyişirik, otuz altıdan isə kök alırıq: radius otuz altı yox, altıdır. Bəzən tənlik mötərizələri açılmış şəkildə gəlir: əvvəlcə iks kvadrat, iqrek kvadrat və zet kvadrat, sonra iks, iqrek və zetli birdərəcəli hədlər, sonda da adi bir ədəd. Belə tənlikdə sferanı tanımaq üçün hədləri tam kvadratlara yığırıq. Məsələn, iks kvadrat ilə mənfi dörd iks birlikdə iks ilə ikinin fərqinin kvadratını xatırladır. Amma bu kvadrat açılanda əlavə bir dörd də verir, ona görə tənliyin hər iki tərəfinə dörd əlavə edirik. İqrek və zet üçün də eyni işi görürük. Sonda mötərizələr hazır olur və sağ tərəfdə radiusun kvadratı görünür. Dərslikdəki beşinci tapşırığın birinci tənliyində bu yol mərkəzi iki, üç və beş koordinatlı nöqtədə olan, radiusu bir olan sferaya aparır. Bu tapşırığın cavabı dərslikdə çap olunmayıb, bu, bizim öz hesabımızdır. Amma açılmış tənlik həmişə sfera vermir, və dərslik bunu yoxlamağı da tapşırır. Üç xəbərdarlıq işarəsini yadda saxlayın. Birincisi: qruplaşdırmadan sonra sağ tərəfdə mənfi ədəd alınarsa, bu, sfera ola bilməz, çünki kvadratların cəmi mənfi ola bilməz. Beşinci tapşırığın ikinci tənliyində məhz belə olur: sağ tərəfdə mənfi bir qalır və bu tənliyi ödəyən heç bir nöqtə tapılmır. Sağ tərəf sıfır olsa, yalnız bir nöqtə, mərkəzin özü qalar. İkincisi: kvadratlardan biri mənfi işarə ilə gəlirsə, məsələn, mənfi zet kvadrat, bu da sfera ola bilməz. Üçüncüsü: üç kvadratın qarşısında eyni ədəd durursa, məsələn, iki, əvvəlcə bütün tənliyi həmin ədədə bölürük, sonra qruplaşdırırıq. Dördüncü tənlikdə belə edəndə mərkəzi mənfi bir, mənfi bir və mənfi bir olan, radiusu beş olan sfera alınır. Bu da bizim hesabımızdır. Dördüncü fəsil: içəridə, üstündə, yoxsa xaricdə. Bir nöqtə və bir sfera verilib. Nöqtə sferaya nəzərən harada yerləşir? Cavab tərifin özündən çıxır. Nöqtədən mərkəzə qədər məsafəni tapıb radiusla müqayisə edirik. Məsafə radiusdan azdırsa, nöqtə sferanın içindədir. Məsafə radiusa bərabərdirsə, nöqtə sferanın üstündədir. Məsafə radiusdan böyükdürsə, nöqtə sferanın xaricindədir. Kökdən qaçmaq da olar: nöqtənin koordinatlarını tənliyin sol tərəfinə yazıb alınan ədədi radiusun kvadratı ilə müqayisə etmək kifayətdir. Dərslik bunu bərabərsizliklə də soruşur: koordinatlarının kvadratları cəmi birdən böyük olan nöqtələr harada yerləşir? Bizim hesabımıza görə, bunlar mərkəzi koordinat başlanğıcında olan və radiusu bir olan sferanın xaricindəki bütün nöqtələrdir. Bəs nöqtədən sferaya qədər ən qısa məsafə nə qədərdir? Nöqtə xaricdədirsə, onu mərkəzlə birləşdirən düz xətt sferanı ona ən yaxın nöqtədə kəsir. Ona görə nöqtədən mərkəzə qədər məsafədən radiusu çıxırıq. Dərslikdəki altıncı tapşırıqda tənliyi qruplaşdırandan sonra mərkəz mənfi bir, səkkiz və mənfi beş koordinatlı nöqtədə, radius isə altı alınır. Verilmiş A nöqtəsinin koordinatları səkkiz, sıfır və yeddidir. Bu nöqtədən mərkəzə qədər məsafə on yeddidir. On yeddi ilə altının fərqi on birdir. Dərsliyin cavabı da budur: A nöqtəsindən sferaya qədər məsafə on bir vahidə bərabərdir. Beşinci fəsil: müstəvi sferanı kəsəndə. Bir portağalı bıçaqla düz kəsdiyinizi təsəvvür edin: kəsikdə həmişə dairə görünür. Sfera ilə müstəvi də belədir. Dərslikdəki ikinci nümunəni götürək: mərkəzi koordinat başlanğıcında olan, radiusu on üç olan sferanı zet bərabərdir on iki müstəvisi kəsir. Tənlikdə zet əvəzinə on iki yazırıq. On üçün kvadratından on ikinin kvadratını çıxanda iyirmi beş qalır. Deməli, kəsik mərkəzi zet oxunun üzərində, on iki hündürlükdə olan və radiusu beş olan çevrədir. Müstəvi mərkəzdən keçəndə isə kəsik ən böyük olur: bu, sferanın böyük çevrəsidir. İndi müstəvini yavaş-yavaş yuxarı sürüşdürək. Müstəvi mərkəzdən uzaqlaşdıqca kəsikdəki çevrə balacalaşır. Zet bərabərdir on üç olanda, yəni müstəvi mərkəzdən düz radius qədər uzaqda olanda, çevrədən yalnız bir nöqtə qalır: sferanın ən yuxarı nöqtəsi. Dərslik belə müstəviyə sferaya toxunan müstəvi deyir: sfera ilə yalnız bir ortaq nöqtəsi olan müstəvi. Toxunma nöqtəsinə çəkilmiş radius bu müstəviyə perpendikulyardır. Müstəvini bir az da yuxarı qaldırsaq, sfera ilə ortaq nöqtə qalmır. Deməli, üç hal var. Mərkəzdən müstəviyə qədər məsafə radiusdan azdırsa, kəsik çevrədir. Bərabərdirsə, bir toxunma nöqtəsi var. Böyükdürsə, ortaq nöqtə yoxdur. Dərslikdə bu fikrə söykənən gözəl bir tapşırıq da var. Radiusu yeddi olan sfera yerə, yəni zet bərabərdir sıfır müstəvisinə, koordinatları üç, dörd və sıfır olan nöqtədə toxunur. Toxunma nöqtəsinə çəkilmiş radius müstəviyə perpendikulyar olduğuna görə, mərkəz həmin nöqtənin ya düz üstündə, ya da düz altında, yeddi vahid məsafədədir. Ona görə iki cavab alınır: mərkəz ya üç, dörd və yeddi koordinatlı nöqtədədir, ya da üç, dörd və mənfi yeddi koordinatlı nöqtədə. Dərsliyin cavabında da hər iki sfera göstərilib. İndi çəmənliyə qayıdaq. Siqnal zonasının sərhədi mərkəzi dronda olan, radiusu on olan sferadır, çəmənlik isə zet bərabərdir sıfır müstəvisidir. Tənlikdə zet əvəzinə sıfır yazırıq. Səkkizin kvadratı altmış dördür. Yüz ilə altmış dördün fərqi otuz altıdır. Deməli, çəmənlikdə siqnalın sərhədi mərkəzi dronun düz altındakı nöqtədə olan, radiusu altı metr olan çevrədir. Qızın telefonu bu nöqtədən düz altı metr aralıdadır, yəni məhz bu çevrənin üstündədir. Altı, səkkiz və on düzbucaqlı üçbucağın tərəfləridir. Telefon siqnal zonasının lap sərhədindədir. Onu bir addım yaxına qoysaq, zonanın içinə düşəcək. Bəs dron yuxarı qalxsa? Mərkəz yerdən uzaqlaşır və çəmənlikdəki çevrə balacalaşır. Dron düz on metr hündürlüyə çatanda çəmənlik sferaya toxunan müstəvi olur: siqnal yerə yalnız bir nöqtədə, dronun düz altında çatır. Dron on metrdən də yuxarı qalxanda çəmənlikdə siqnal çatan heç bir nöqtə qalmır. Beləcə, hekayəmizin hər anı bu dərsin bir hissəsi oldu. Bugünkü dərsin əsas fikri budur: sfera bir nöqtədən eyni məsafədə olan bütün nöqtələrdir və onun tənliyi əslində məsafə düsturudur: koordinat fərqlərinin kvadratları cəmi radiusun kvadratına bərabərdir. Tənliyi oxuyanda mərkəzin işarələrini dəyişirik və sağ tərəfdən kök alırıq. Açılmış tənliyi tam kvadratlara yığırıq və sağ tərəfin işarəsini yoxlayırıq. Nöqtənin yerini mərkəzə qədər məsafəni radiusla müqayisə edib tapırıq. Müstəvi isə sferanı ya çevrə boyunca kəsir, ya ona bir nöqtədə toxunur, ya da onunla heç görüşmür. Addım-addım həllər üçün oxu dərsinə və video dərsə baxın. Növbəti dəfə telefonunuz siqnalı itirəndə, onu əhatə edən görünməz sferanı xatırlayın.