Tənliklərdən hansı sferanı ifadə edir?
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Tənlik nə vaxt sferadır
Qayda
Tənlik sferanı yalnız bu halda ifadə edir:
x², y², z² əmsalları eynidir və tam kvadratdan sonra sağ tərəf müsbətdir
Əmsallar eyni ədəddirsə (məsələn, 3), əvvəlcə tənliyi həmin ədədə bölürük. Kvadratlardan biri yoxdursa, mənfi işarəlidirsə və ya sağ tərəf mənfi alınırsa, tənlik sfera deyil.
2 · Həll
Addım-addım həll
MəsələHansı tənlik sferanı ifadə edir
Variantlardakı beş tənlikdən sferanı ifadə edəni seçin.
- Kvadratların əmsallarına baxırıq. −z², 2x² və z²-in olmaması üç variantı dərhal çıxarır (cədvəl).
- Qalan iki tənlikdə tam kvadrat ayırırıq. x² + y² + z² − 2x + 4z + 9 = 0 ⇒ (x − 1)² + y² + (z + 2)² = −4 < 0 — sfera deyil.
- Əmsalları eyni olan tənliyi 3‑ə bölürük. 3x² + 3y² + 3z² − 6x + 12y − 12 = 0 ⇒ x² + y² + z² − 2x + 4y − 4 = 0.
- Tam kvadrat. (x − 1)² + (y + 2)² + z² = 1 + 4 + 4 = 9 > 0 ⇒ mərkəzi (1; −2; 0), radiusu 3 olan sfera.
Cavab: 3x² + 3y² + 3z² − 6x + 12y − 12 = 0
Beş tənliyin yoxlanması
| Tənlik | Nəticə |
|---|---|
| x² + y² + z² − 2x + 4z + 9 = 0 | sağ tərəf −4 — sfera deyil |
| x² + y² − z² + 4x − 1 = 0 | −z² — sfera deyil |
| 2x² + y² + z² − 4x = 0 | əmsallar fərqli — sfera deyil |
| 3x² + 3y² + 3z² − 6x + 12y − 12 = 0 | r² = 9 — sferadır |
| x² + y² − 2x + 4z − 5 = 0 | z² yoxdur — sfera deyil |
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayırıq
Mərkəzdən 3 vahid uzaqdakı (4; −2; 0) nöqtəsini ilkin tənliyə yazaq: 3·16 + 3·4 + 0 − 6·4 + 12·(−2) − 12 = 48 + 12 − 24 − 24 − 12 = 0 ✓.
4 · Diqqət
Tipik səhvlər
Səhv yanaşma
x² + y² + z² − 2x + 4z + 9 = 0
Şəklinə baxıb «sferadır» demək — sağ tərəfi yoxlamamaq.
Düzgün
(x − 1)² + y² + (z + 2)² = −4
Tam kvadratdan sonra sağ tərəf müsbət olmalıdır; burada mənfidir.
Digər cavablar niyə səhvdir
- x² + y² + z² − 2x + 4z + 9 = 0 — Şəkli sferaya oxşayır, amma tam kvadratdan sonra (x − 1)² + y² + (z + 2)² = 1 + 4 − 9 = −4 alınır. Kvadratların cəmi mənfi ola bilməz — heç bir nöqtə yoxdur.
- x² + y² − z² + 4x − 1 = 0 — z² mənfi işarəlidir. Sfera tənliyində üç kvadratın hamısı eyni işarəli və eyni əmsallı olmalıdır.
- 2x² + y² + z² − 4x = 0 — x²-in əmsalı 2, y² və z²-in əmsalı 1‑dir. Əmsallar fərqli olduqda tənlik sfera deyil.
- x² + y² − 2x + 4z − 5 = 0 — z² yoxdur, z yalnız birinci dərəcədədir. Bu tənlik sferanı ifadə etmir.
Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «Sferanın tənliyi», səh. 62–63, tapşırıq 5.