Mətn (transkript)
Günbəzin hündürlüyü on yeddi metrdir. Zirvədən cəmi iki metr aşağıda onun eni nə qədərdir? Sadə bir model quraq: günbəz dəqiq yarımsferadır, mərkəzi döşəmənin tam ortasındadır. Mərkəzdən günbəzin istənilən nöqtəsinə ip çəksək, ipin uzunluğu həmişə on yeddi metr olacaq. Dərslik sferanı belə təyin edir: verilmiş nöqtədən eyni məsafədə olan bütün nöqtələr çoxluğu sferadır. Həmin nöqtə sferanın mərkəzi, bu məsafə isə radiusudur. Sfera yalnız səthdir, nazik qabıq kimi. Bəs bu qabığı bir tənliklə necə yazmaq olar? Mərkəzi em nöqtəsi adlandıraq, koordinatları iks sıfır, iqrek sıfır, zet sıfır. Sferanın üzərində istənilən pe nöqtəsini götürək, koordinatları iks, iqrek, zet. Pe ilə em arasındakı məsafə radiusa bərabərdir. Məsafə düsturuna görə, bu məsafə koordinat fərqlərinin kvadratları cəminin köküdür. Kökdən qurtulmaq üçün hər iki tərəfi kvadrata yüksəldirik. Alınır: iks minus iks sıfır, kvadrat, üstəgəl iqrek minus iqrek sıfır, kvadrat, üstəgəl zet minus zet sıfır, kvadrat, radiusun kvadratına bərabərdir. Bu, sferanın tənliyidir. Mərkəz koordinat başlanğıcında olanda onun üç koordinatı da sıfırdır. Tənlik qısalır: iks kvadrat üstəgəl iqrek kvadrat üstəgəl zet kvadrat radiusun kvadratına bərabərdir. Günbəzimizi də belə yerləşdirək: başlanğıc döşəmənin ortasında, zet oxu yuxarı baxır. Günbəz üçün sağ tərəf on yeddinin kvadratıdır, zet isə mənfi ola bilməz. Döşəmə, yəni O iks iqrek müstəvisi, sferanı onun böyük çevrəsi üzrə kəsir. Bu çevrə günbəzin otuz dörd metrlik dairəvi əsasıdır. İndi dərslikdən bir tapşırıq. Sferanın mərkəzi iki, üç, mənfi bir nöqtəsindədir, sfera isə dörd, mənfi bir, bir nöqtəsindən keçir. Radiusu bu iki nöqtə arasındakı məsafə verir. Koordinat fərqləri iki, mənfi dörd və iki. Onların kvadratları dörd, on altı və dörd, cəmi iyirmi dörd. Tənlik belədir: iks minus iki, kvadrat, üstəgəl iqrek minus üç, kvadrat, üstəgəl zet üstəgəl bir, kvadrat, bərabərdir iyirmi dörd. Dərslikdəki cavab da eynidir. İki tələyə diqqət edin. Mərkəzin mənfi bir koordinatı mötərizədə üstəgəl bir olur. Sağdakı iyirmi dörd isə radiusun kvadratıdır; radiusun özü iyirmi dördün köküdür. Bəzən tənlik mötərizəsiz, açılmış şəkildə gəlir. Məsələn: iks kvadrat üstəgəl iqrek kvadrat üstəgəl zet kvadrat, minus iki iks, minus dörd iqrek, üstəgəl səkkiz zet, üstəgəl beş, bərabərdir sıfır. Hər hərfin hədlərini tam kvadrata tamamlayırıq. İks üçün bir, iqrek üçün dörd, zet üçün on altı əlavə edirik və eyni ədədləri sağ tərəfə də yazırıq. Mötərizələr yaranır: iks minus bir, iqrek minus iki, zet üstəgəl dörd. Beşi sağa keçirəndə sağda on altı qalır. Mərkəz bir, iki, mənfi dörd nöqtəsidir, radius dörddür. Diqqət: sağ tərəf müsbət olmalıdır, çünki kvadratların cəmi mənfi ola bilməz. Dərslikdən daha bir tapşırıq. Mərkəz altı, səkkiz, mənfi beş nöqtəsindədir, radius altıdır. Bu sfera koordinat müstəviləri ilə necə kəsişir? Hər müstəviyə qədər məsafəni mərkəzin bir koordinatı verir, biz onu radiusla müqayisə edirik. O iks iqrek müstəvisinə qədər məsafə beşdir, radiusdan azdır. Kəsişmə çevrədir, onun radiusunun kvadratı otuz altı minus iyirmi beş, yəni on birdir. O iqrek zet müstəvisinə qədər məsafə altıdır, düz radius qədər. Bu müstəvi sferaya bircə nöqtədə toxunur: sıfır, səkkiz, mənfi beş nöqtəsində. Toxunma nöqtəsinə çəkilən radius müstəviyə perpendikulyardır. O iks zet müstəvisinə qədər məsafə isə səkkizdir, radiusdan böyükdür: bu müstəvi sferadan kənardan keçir. Dərslikdə bu tapşırığın yalnız şərti var, cavablar bizim öz hesabımızdır. İndi günbəzə qayıdaq. Zirvədən iki metr aşağıda, yəni on beş metr hündürlükdə, üfüqi bir müstəvi çəkək: zet bərabərdir on beş. Günbəzin tənliyində zetin yerinə on beş yazırıq. İks kvadrat üstəgəl iqrek kvadrat on yeddinin kvadratı ilə on beşin kvadratının fərqinə bərabərdir, yəni altmış dördə. Bu, radiusu səkkiz metr olan çevrədir. Deməli, zirvədən cəmi iki metr aşağıda günbəzin eni on altı metrdir, demək olar ki, tam enin yarısı. Səbəb düzbucaqlı üçbucaqdır: on yeddi metrlik radius, on beş metrlik hündürlük və səkkiz metrlik yarımen. Yadda saxlayın: sfera mərkəzdən eyni məsafədə olan nöqtələrdir, onun tənliyi isə kvadrata yüksəldilmiş məsafə düsturudur. Müstəvi sferanı kəsəndə çevrə alınır, radiusunu isə Pifaqor teoremi verir. Elə buna görə zirvədən iki metr aşağıda da günbəzin eni on altı metrdir.