Mərkəzi Oz oxunda olan və iki nöqtədən keçən sfera

1 · Əsas fikir

Mərkəz oxun üzərindədir

Qayda

Mərkəz Oz oxu üzərindədirsə, onun koordinatları C(0; 0; c) şəklindədir. Sferanın üzərindəki hər nöqtə C‑dən eyni məsafədədir:

CA² = CB² ⇒ c tapılır, r² = CA²

c² hər iki tərəfdə eyni olduğu üçün ixtisar olunur və c üçün xətti tənlik qalır.

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələMərkəzi Oz oxunda olan və iki nöqtədən keçən sfera

Mərkəzi Oz oxu üzərində olan və A(2; 1; 5), B(1; 2; 1) nöqtələrindən keçən sferanın tənliyini yazın.

1. Mərkəzi yazırıq. Oz oxunun nöqtələrində x = 0, y = 0: C(0; 0; c).
2. Bərabər məsafələr. A və B sferanın üzərindədir ⇒ CA = r = CB ⇒ CA² = CB².
3. Tənlik. 2² + 1² + (5 − c)² = 1² + 2² + (1 − c)² ⇒ 25 − 10c = 1 − 2c ⇒ 8c = 24 ⇒ c = 3.
4. Radius və tənlik. r² = CA² = 4 + 1 + 4 = 9 ⇒ x² + y² + (z − 3)² = 9.

Cavab: x² + y² + (z − 3)² = 9

Mərkəzi Oz oxunda olan sfera

Mərkəzi C(0; 0; 3) Oz oxundadır; sfera A və B‑dən keçir və Oxy müstəvisinə O nöqtəsində toxunur.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

A(2; 1; 5): 4 + 1 + 4 = 9 ✓. B(1; 2; 1): 1 + 4 + 4 = 9 ✓. Maraqlı nəticə: O(0; 0; 0) da tənliyi ödəyir və r = 3 = |z₀| — sfera Oxy müstəvisinə koordinat başlanğıcında toxunur.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv yanaşma

Mərkəz = AB‑nin ortası

İki nöqtədən keçən sferanın mərkəzini həmişə orta nöqtə saymaq — bu yalnız AB diametr olanda doğrudur.

Düzgün

C(0; 0; c), CA² = CB²

Mərkəzin verilmiş şərtini (Oz‑də) yazıb bərabər məsafədən c‑ni tapırıq.

Digər cavablar niyə səhvdir

• x² + y² + (z + 3)² = 9 — c = 3 tapılsa da mötərizədə «z + 3» yazılıb; bu, mərkəzi (0; 0; −3) olan sferadır və A‑dan keçmir: 4 + 1 + 64 ≠ 9.
• (x − 1,5)² + (y − 1,5)² + (z − 3)² = 4,5 — Mərkəz kimi AB‑nin orta nöqtəsi götürülüb. AB diametr deyil və bu nöqtə Oz oxu üzərində deyil (x, y ≠ 0).
• x² + y² + (z − 3)² = 3 — Sağ tərəfdə radiusun özü yazılıb. CA² = 4 + 1 + 4 = 9 radiusun kvadratıdır.
• x² + y² + z² = 30 — Mərkəz koordinat başlanğıcında götürülüb (OA² = 30). Bu sfera B‑dən keçmir: 1 + 4 + 1 = 6 ≠ 30.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «Sferanın tənliyi», səh. 62–63, Tərif və tapşırıq 3.