Koordinat müstəvisinə toxunan sferanın tənliyi

1 · Əsas fikir

Koordinat müstəvisinə toxunan sfera

Qayda

Sferaya toxunan müstəvi toxunma nöqtəsinə çəkilmiş radiusa perpendikulyardır. Ona görə radius mərkəzdən müstəviyə qədər olan məsafəyə bərabərdir:

Oxy (z = 0) ⇒ r = |z₀|; Oyz (x = 0) ⇒ r = |x₀|; Oxz (y = 0) ⇒ r = |y₀|

Koordinat müstəvisinin tənliyində hansı dəyişən sıfırdırsa, mərkəzin həmin koordinatının modulu radiusdur.

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələKoordinat müstəvisinə toxunan sferanın tənliyi

Mərkəzi M(−3; 4; −2) olan və Oxz müstəvisinə toxunan sferanın tənliyini yazın.

1. Müstəvini tanıyırıq. Oxz müstəvisinin bütün nöqtələrində y = 0.
2. Toxunma nöqtəsi. Radius toxunan müstəviyə perpendikulyar olduğu üçün K nöqtəsi M‑dən Oxz-ə endirilmiş perpendikulyarın oturacağıdır: K(−3; 0; −2).
3. Radius. r = MK = |4 − 0| = 4, r² = 16.
4. Tənlik. (x + 3)² + (y − 4)² + (z + 2)² = 16.

Cavab: (x + 3)² + (y − 4)² + (z + 2)² = 16

Oxz müstəvisinə toxunan sfera

Toxunma nöqtəsinə çəkilmiş MK radiusu Oxz müstəvisinə perpendikulyardır, ona görə r = |y₀|.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

Tənlikdə y = 0 yazaq: (x + 3)² + 16 + (z + 2)² = 16 ⇒ (x + 3)² + (z + 2)² = 0 ⇒ x = −3, z = −2. Müstəvi ilə yeganə ortaq nöqtə K(−3; 0; −2) — toxunma ✓.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv yanaşma

r = |x₀| = 3

Hansı müstəviyə toxunduğuna baxmadan istənilən koordinatı radius götürmək.

Düzgün

Oxz: y = 0 ⇒ r = |y₀|

Müstəvinin tənliyindəki sıfır olan dəyişən radiusu verir.

Digər cavablar niyə səhvdir

• (x + 3)² + (y − 4)² + (z + 2)² = 9 — r = |x₀| = 3 götürülüb — bu, Oyz (x = 0) müstəvisinə toxunan sferadır. Oxz müstəvisində y = 0, ona görə r = |y₀|.
• (x + 3)² + (y − 4)² + (z + 2)² = 29 — r² = 9 + 16 + 4 = 29 — mərkəzdən koordinat başlanğıcına qədər məsafə. Bu sfera O nöqtəsindən keçir, Oxz-ə toxunmur.
• (x − 3)² + (y + 4)² + (z − 2)² = 16 — Radius düzgündür, amma mötərizələrdə mərkəzin koordinatları işarəsi dəyişmədən yazılıb; bu sferanın mərkəzi (3; −4; 2)-dir.
• (x + 3)² + (y − 4)² + (z + 2)² = 4 — r = |z₀| = 2 götürülüb — bu, Oxy (z = 0) müstəvisinə toxunan sferadır.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «Sferanın tənliyi», səh. 62–63, sferaya toxunan müstəvi və tapşırıq 7, 10.