Sferanın tənliyi

• 6.15
• 11‑ci sinif
• Fəzada həndəsə

Sferanın tənliyi

Fəzada M(2; 3; 4) nöqtəsindən düz 3 vahid aralı olan bütün nöqtələr nə əmələ gətirir? Sfera — və onların hamısını bir tənlik tutur.

Bu dərsdə

• mərkəzi və radiusu verilmiş sferanın tənliyini yazacaq, tənlikdən mərkəzi və radiusu oxuyacaqsan;
• açılmış tənliyi tam kvadratlara ayırıb onun sfera olub-olmadığını yoxlayacaqsan;
• sferanın müstəvi ilə kəsişməsini, toxunan müstəvini və nöqtədən sferaya məsafəni tapacaqsan.

• mərkəz
• radius
• sferanın nöqtəsi, kəsik

Sfera: M(2; 3; 4) mərkəzindən 3 vahid aralı olan bütün nöqtələr

(x − 2)² + (y − 3)² + (z − 4)² = 9

Başla Yenidən Yenidən

1. Nöqtə harada?
2. Tərif və tənlik
3. Tənliyi yaz və oxu
4. Kəsik və toxunma
5. Məsafə tapşırıqları
6. Diqqət
7. Özünü yoxla
8. Yekun

1 · Kəşf et

Nöqtə sferanın harasındadır?

Yuxarıdakı sferanın mərkəzi M(2; 3; 4), radiusu 3‑dür. Nöqtənin sferaya aid olub-olmadığını bilmək üçün onun M-dən məsafəsini iki nöqtə arasındakı məsafə düsturu ilə hesablayaq. Kökü almamaq üçün məsafənin kvadratını r² = 9 ilə müqayisə edirik.

Nöqtəni seç

R(2; 6; 4) Q(3; 4; 5) S(2; 3; 8)

Üç nöqtə və M(2; 3; 4) mərkəzli, radiusu 3 olan sfera

MR² = 0² + 3² + 0² = 9 = r². MR = 3: R sferanın üzərindədir.

MQ² = 1² + 1² + 1² = 3 < 9. MQ = √3 < 3: Q sferanın içindədir — sferaya aid deyil.

MS² = 0² + 0² + 4² = 16 > 9. MS = 4 > 3: S sferadan kənardadır.

Sferaya yalnız M-dən məsafəsi düz 3 olan nöqtələr aiddir. Bu şərti istənilən P(x; y; z) üçün yazsaq, sferanın tənliyini alarıq.

2 · Qayda

Sfera və onun tənliyi

Tərif

Verilmiş P₀(x₀; y₀; z₀) nöqtəsindən r məsafədə olan bütün nöqtələr çoxluğuna sfera deyilir. P₀ nöqtəsi sferanın mərkəzi, r isə radius adlanır.

P(x; y; z) sferanın nöqtəsidirsə, iki nöqtə arasındakı məsafə düsturuna görə P₀P = r, yəni

(x − x₀)² + (y − y₀)² + (z − z₀)² = r²

Bu, mərkəzi P₀ və radiusu r olan sferanın tənliyidir.

Sferanın mərkəzi P₀, üzərindəki P nöqtəsi və radius r

Mərkəz mavi, radius narıncı, sferanın nöqtəsi yaşıldır. Sferanın arxasında qalan ox hissələri qırıq xəttlədir.

Niyə tənlik sferanı tam təsvir edir? P₀P = √((x − x₀)² + (y − y₀)² + (z − z₀)²). P₀P = r bərabərliyinin hər iki tərəfi mənfi deyil, ona görə onu kvadrata yüksəltmək və geri kök almaq olar: sferanın hər nöqtəsi tənliyi ödəyir və tənliyi ödəyən hər nöqtə sferanın üzərindədir.

Mərkəz koordinat başlanğıcındadır

x² + y² + z² = r²

Bu sferanın Oxy müstəvisi ilə kəsişməsi onun böyük çevrəsidir: z = 0 qoysaq, x² + y² = r² alınır — radiusu sferanın radiusuna bərabər olan çevrə.

Sfera, içi və xarici

Kəşf mərhələsindəki kimi, nöqtənin koordinatlarını tənliyin sol tərəfində yerinə qoy: = r² — sferanın üzərində, < r² — içində, > r² — xaricində. Sfera yalnız səthdir; səth və onun içi birlikdə kürədir (≤ r²).

x² + y² + z² = r² sferası və Oxy müstəvisi

Oxy müstəvisi sferanı tən ortadan kəsir: kəsik böyük çevrədir.

3 · Hesabla

Tənliyi yaz, tənliyi oxu

Nümunə 1Mərkəz və radiusdan tənliyə

Mərkəzi M(2; −1; 1) nöqtəsində yerləşən və radiusu r = 5 olan sferanın tənliyini yazın.

1. Tənlikdə mötərizələrdə koordinat çıxılsın mərkəzin koordinatı yazılır: x − 2, y − (−1), z − 1.
2. y − (−1) = y + 1: mərkəzin mənfi koordinatı tənlikdə «+» ilə görünür.
3. Sağ tərəf radiusun kvadratıdır: 5² = 25. (x − 2)² + (y + 1)² + (z − 1)² = 25

Nümunə 2Mərkəz və bir nöqtə

Mərkəzi C(1; −1; 2) nöqtəsində olan və K(3; 1; 3) nöqtəsindən keçən sferanın tənliyini yazın.

1. K sferanın üzərindədir, deməli radius CK məsafəsidir.
2. r² = CK² = (3 − 1)² + (1 + 1)² + (3 − 2)² = 4 + 4 + 1 = 9. Kökə ehtiyac yoxdur: tənliyə elə r² yazılır. (x − 1)² + (y + 1)² + (z − 2)² = 9

Nümunə 3Açılmış tənlik: tam kvadratlara ayır

x² + y² + z² − 2x + 6y − 8z + 1 = 0 tənliyinin sfera olduğunu göstərin, mərkəzini və radiusunu tapın.

1. Hər dəyişənin hədlərini qruplaşdır: (x² − 2x) + (y² + 6y) + (z² − 8z) + 1 = 0.
2. Tam kvadrata tamamla: x² − 2x = (x − 1)² − 1, y² + 6y = (y + 3)² − 9, z² − 8z = (z − 4)² − 16.
3. Yerinə qoy: (x − 1)² + (y + 3)² + (z − 4)² − 1 − 9 − 16 + 1 = 0.
4. Ədədləri sağa keçir: 1 + 9 + 16 − 1 = 25 > 0. (x − 1)² + (y + 3)² + (z − 4)² = 25: mərkəz (1; −3; 4), r = 5

Sferadırmı? Tam kvadratdan sonra sağ tərəfə bax

Sağ tərəf mənfidir

x² + y² + z² + 2x − 4y + 6 = 0

(x + 1)² + (y − 2)² + z² = −1. Kvadratların cəmi mənfi ola bilməz: heç bir nöqtə yoxdur, sfera deyil.

Sağ tərəf sıfırdır

x² + y² + z² − 4z + 4 = 0

x² + y² + (z − 2)² = 0: yalnız (0; 0; 2) nöqtəsi. Bir nöqtə sfera deyil.

Kvadratların əmsalları fərqlidir

x² + y² − z² = 4

Sferanın tənliyində x², y², z² eyni əmsalla gəlir; burada z²‑nin əmsalı −1‑dir: sfera deyil.

Ortaq vuruq var

2x² + 2y² + 2z² − 4x − 16 = 0

Əvvəlcə 2‑yə böl: x² + y² + z² − 2x − 8 = 0, sonra (x − 1)² + y² + z² = 9: mərkəz (1; 0; 0), r = 3.

4 · Qayda

Müstəvi sferanı necə kəsir?

Sfera x² + y² + z² = 169, yəni mərkəzi O, radiusu 13‑dür. Onu üfüqi z = h müstəvisi ilə kəsək. Kəsikdə z = h olduğu üçün tənlikdə z-in yerinə h yazmaq kifayətdir: x² + y² = 169 − h².

Müstəvini seç

z = 0 z = 12 z = 13 z = 14

x² + y² + z² = 169 sferası və z = h müstəvisi

x² + y² = 169 − 0 = 169: mərkəzi O, radiusu 13 olan böyük çevrə — sferanın ən böyük kəsiyi.

x² + y² = 169 − 144 = 25: mərkəzi (0; 0; 12), radiusu 5 olan çevrə (dərslikdəki Nümunə 2). Fiqurdakı düzbucaqlı üçbucağın tərəfləri 12, 5 və hipotenuz 13‑dür.

x² + y² = 169 − 169 = 0: yalnız x = y = 0, yəni (0; 0; 13) nöqtəsi. Müstəvi sferaya bu nöqtədə toxunur.

x² + y² = 169 − 196 = −27: kvadratların cəmi mənfi ola bilməz, ortaq nöqtə yoxdur.

Toxunan müstəvi

Sfera ilə yalnız bir ortaq nöqtəsi olan müstəviyə sferaya toxunan müstəvi deyilir. Məsələn, z = 13 müstəvisi x² + y² + z² = 169 sferasına (0; 0; 13) nöqtəsində toxunur.

Sferaya toxunan müstəvi toxunma nöqtəsinə çəkilmiş radiusa perpendikulyardır.

Laboratoriyadan görünür: üçbucaqdan (Pifaqor teoremi) kəsiyin radiusu √(13² − h²)‑dir. Müstəvi mərkəzə nə qədər yaxındırsa, kəsik o qədər böyükdür; h = 13 olanda kəsik bir nöqtəyə çevrilir. Bu, dərsin öz müşahidəsidir — dərslikdə yalnız yerinə qoyma üsulu var.

5 · Hesabla

Məsafə ilə bağlı tapşırıqlar

Bu tapşırıqların hamısında sual eynidir: mərkəz haradadır və radius nəyə bərabərdir?

Nümunə 4Nöqtədən sferaya məsafə

A(−1; 8; 1) nöqtəsindən (x − 1)² + (y − 2)² + (z + 2)² = 16 sferasına qədər məsafəni tapın.

A nöqtəsindən sferaya ən qısa məsafə

Başla Yenidən Yenidən

1. Tənlikdən: mərkəz M(1; 2; −2), r = 4.
2. AM² = (−1 − 1)² + (8 − 2)² + (1 + 2)² = 4 + 36 + 9 = 49, AM = 7 > 4: A sferadan kənardadır.
3. Sferanın A-ya ən yaxın nöqtəsi N, AM parçasının sferanı kəsdiyi nöqtədir: AN = AM − r = 7 − 4 = 3. 3 vahid

Nümunə 5Koordinat müstəvisinə toxunan sfera

Mərkəzi C(−2; 5; 3) nöqtəsində olan və Oxy müstəvisinə toxunan sferanın tənliyini yazın. Oyz və Oxz müstəvilərinə toxunan sferalar necə olar?

1. Toxunan müstəvi toxunma nöqtəsinə çəkilmiş radiusa perpendikulyardır, deməli radius C-dən müstəviyə perpendikulyar parçadır.
2. C-dən Oxy-ə (z = 0) perpendikulyarın oturacağı T(−2; 5; 0)‑dır: r = CT = |z₀| = 3.
3. Eyni qayda ilə Oyz-ə qədər |x₀| = 2, Oxz-ə qədər |y₀| = 5. (x + 2)² + (y − 5)² + (z − 3)² = 9

Oxy müstəvisinə toxunan sfera

C(−2; 5; 3) mərkəzli, koordinat müstəvisinə toxunan sferalar

Nümunə 6Diametrin ucları

Diametrlərindən birinin ucları A(1; 0; 2) və B(3; 4; −2) olan sferanın tənliyini yazın.

1. Mərkəz diametrin ortasıdır: x₀ = (1 + 3) : 2 = 2, y₀ = (0 + 4) : 2 = 2, z₀ = (2 − 2) : 2 = 0, yəni (2; 2; 0).
2. AB² = 2² + 4² + (−4)² = 36, AB = 6, radius diametrin yarısıdır: r = 3.
3. Yoxlama: A üçün (1 − 2)² + (0 − 2)² + 2² = 9 ✓. (x − 2)² + (y − 2)² + z² = 9

6 · Diqqət

Üç tez-tez edilən səhv

Mərkəzin işarələri

Səhv

(x + 3)² … → mərkəz (3; −2; 1)

Mötərizədəki işarələr olduğu kimi köçürülüb.

Düz

mərkəz (−3; 2; −1)

(x + 3)² + (y − 2)² + (z + 1)² = 16: x + 3 = x − (−3), ona görə x₀ = −3.

Radius və onun kvadratı

Səhv

r = 16

Sağ tərəfdəki ədəd radius deyil.

Düz

r² = 16, r = 4

Tərsinə də: radius 4 olan sferanın tənliyində sağda 16 yazılır, 4 yox.

Nöqtədən sferaya məsafə

Səhv

məsafə = AM = 7

Bu, mərkəzə qədər məsafədir.

Düz

AM − r = 7 − 4 = 3

Sferanın ən yaxın nöqtəsi AM üzərindədir (Nümunə 4).

7 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

1. Asan Mərkəzi (0; −3; 2) nöqtəsində, radiusu 2 olan sferanın tənliyi hansıdır? Sual 1 variantları x² + (y − 3)² + (z + 2)² = 4 x² + (y + 3)² + (z − 2)² = 4 x² + (y + 3)² + (z − 2)² = 2 Düzdür! y − (−3) = y + 3, sağda isə 2² = 4. Mötərizədə «koordinat çıxılsın mərkəzin koordinatı» yazılır, sağda isə radiusun kvadratı. Həllə bax (x − 0)² + (y − (−3))² + (z − 2)² = 2², yəni x² + (y + 3)² + (z − 2)² = 4.
2. Asan (x − 4)² + (y + 1)² + z² = 36 sferasının mərkəzi və radiusu hansıdır? Sual 2 variantları (−4; 1; 0), r = 6 (4; −1; 0), r = 36 (4; −1; 0), r = 6 Düzdür! İşarələr tərsinə, radius isə √36. Mərkəzin koordinatları mötərizədəki ədədlərin əks işarəlisidir, radius sağ tərəfin köküdür. Həllə bax x − 4 ⇒ x₀ = 4; y + 1 = y − (−1) ⇒ y₀ = −1; z² = (z − 0)² ⇒ z₀ = 0. r² = 36 ⇒ r = 6.
3. Orta x² + y² + z² + 6x − 2z + 1 = 0 sferasının mərkəzi və radiusu hansıdır? Sual 3 variantları (−3; 0; 1), r = 3 (3; 0; −1), r = 3 (−3; 0; 1), r = √11 Düzdür! 9 + 1 − 1 = 9, r = 3. Tam kvadratları qur, sonra sərbəst həddi sağa keçirəndə onun işarəsini dəyiş. Həllə bax x² + 6x = (x + 3)² − 9, z² − 2z = (z − 1)² − 1. Onda (x + 3)² + y² + (z − 1)² = 9 + 1 − 1 = 9: mərkəz (−3; 0; 1), r = 3.
4. Orta Hansı tənlik sfera deyil? Sual 4 variantları x² + y² + z² − 4z = 0 x² + y² + z² − 2x + 4y + 10 = 0 2x² + 2y² + 2z² − 8 = 0 Düzdür! Sağ tərəf −5 alınır. Hər tənliyi tam kvadratlara ayır və sağ tərəfin işarəsinə bax. Həllə bax (x − 1)² + (y + 2)² + z² = 1 + 4 − 10 = −5 — heç bir nöqtə yoxdur. Digərləri: x² + y² + (z − 2)² = 4 və x² + y² + z² = 4 — hər ikisi radiusu 2 olan sferadır.
5. Çətin Mərkəzi (3; −4; 5) nöqtəsində olan və Oyz müstəvisinə toxunan sferanın tənliyi hansıdır? Sual 5 variantları (x − 3)² + (y + 4)² + (z − 5)² = 25 (x − 3)² + (y + 4)² + (z − 5)² = 16 (x − 3)² + (y + 4)² + (z − 5)² = 9 Düzdür! Oyz-ə (x = 0) qədər məsafə |x₀| = 3‑dür. Oyz müstəvisinin tənliyi x = 0‑dır. Mərkəzdən ona qədər məsafəni hansı koordinat verir? Həllə bax Radius toxunma nöqtəsinə çəkilir və müstəviyə perpendikulyardır, ona görə r mərkəzdən Oyz-ə qədər məsafədir: r = |3| = 3, r² = 9. 25 Oxy-ə, 16 isə Oxz-ə toxunan sferaya aiddir.
6. Çətin x² + y² + z² = 25 sferası ilə z = −3 müstəvisinin kəsişməsi nədir? Sual 6 variantları mərkəzi (0; 0; −3), radiusu 4 olan çevrə mərkəzi (0; 0; −3), radiusu 16 olan çevrə ortaq nöqtə yoxdur Düzdür! x² + y² = 25 − 9 = 16, radius 4. z-in yerinə −3 yaz: (−3)² = 9 müsbətdir. Sonra radius üçün kökü unutma. Həllə bax x² + y² + (−3)² = 25 ⇒ x² + y² = 16: z = −3 müstəvisində mərkəzi (0; 0; −3), radiusu √16 = 4 olan çevrə. Müstəvi mərkəzdən 3 vahid aşağıdadır, 3 < 5, ona görə sferanı kəsir.

Dərslikdəki çalışmaların cavabları (səh. 62–63, 1–14)

«Dərslik» — dərsliyin «Cavablar» bölməsində çap olunan cavab (səh. 313). «Bu dərsin hesabı» — dərslikdə cavabı verilməyən çalışmalar üçün bu dərsdə hesablanmış cavab.

8 · Yekun

Üç nəticə

• Tənlik — məsafə düsturu(x − x₀)² + (y − y₀)² + (z − z₀)² = r²: mərkəz işarəsi tərsinə oxunur, sağda radiusun kvadratıdır.
• Açılmış tənlik — tam kvadratQruplaşdır, kvadratlara tamamla, sağ tərəfə bax: müsbət — sfera, sıfır — nöqtə, mənfi — heç nə.
• Kəsik, toxunma, məsafəz = h yerinə qoy: çevrə, bir nöqtə və ya boş. Toxunan müstəvi radiusa perpendikulyardır; nöqtədən sferaya məsafə AM − r.

Növbəti mövzu: 6.16 Fəzada və müstəvidə çevrilmələr — paralel köçürmə, simmetriya, dönmə və homotetiya.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», səh. 62–63: sferanın tərifi və tənliyi, xüsusi hal x² + y² + z² = r², böyük çevrə, Nümunə 1 və 2, toxunan müstəvi, çalışmalar 1–14; səh. 68, №14 və səh. 313 («Cavablar»). Dərslikdəki Nümunə 1‑in nöqtəsi burada düzgün yazılışla M(2; −1; 1) kimi verilib. Nümunə 2–6, kəşf nöqtələri və yoxlama sualları bu dərs üçün seçilmiş ədədlərdir; fiqurlar dəqiq koordinatlardan ortoqrafik görünüşdə çəkilib.