Diametrinin ucları verilmiş sferanın tənliyi

1 · Əsas fikir

Diametr: mərkəz ortada, radius yarı

Qayda

Diametr sferanın mərkəzindən keçir, ona görə:

M = AB‑nin orta nöqtəsi, r = AB / 2, r² = AB² / 4

Orta nöqtənin hər koordinatı ucların uyğun koordinatlarının cəminin yarısıdır.

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələDiametrinin ucları verilmiş sferanın tənliyi

Diametrinin ucları A(−1; 4; 2) və B(3; 0; −4) olan sferanın tənliyini yazın.

1. Mərkəz AB‑nin orta nöqtəsidir. M = ((−1 + 3)/2; (4 + 0)/2; (2 + (−4))/2) = (1; 2; −1).
2. Diametrin kvadratı. AB² = (3 + 1)² + (0 − 4)² + (−4 − 2)² = 16 + 16 + 36 = 68.
3. Radiusun kvadratı. r = AB/2 ⇒ r² = AB²/4 = 68/4 = 17.
4. Tənlik. (x − 1)² + (y − 2)² + (z + 1)² = 17.

Cavab: (x − 1)² + (y − 2)² + (z + 1)² = 17

Sferanın diametri

Diametrin orta nöqtəsi M sferanın mərkəzidir, radius AB‑nin yarısıdır.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

A(−1; 4; 2): (−2)² + 2² + 3² = 4 + 4 + 9 = 17 ✓. B(3; 0; −4): 2² + (−2)² + (−3)² = 17 ✓. Hər iki uc sferanın üzərindədir.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv yanaşma

r² = AB² = 68

Diametri radius kimi götürmək.

Düzgün

r² = AB² / 4 = 17

Radius diametrin yarısıdır, kvadratı isə dörddə biri.

Digər cavablar niyə səhvdir

• (x − 1)² + (y − 2)² + (z + 1)² = 68 — Mərkəz düzgündür, amma sağ tərəfə diametrin kvadratı AB² = 68 yazılıb. Radius diametrin yarısıdır: r² = 68/4 = 17.
• (x − 2)² + (y + 2)² + (z + 3)² = 17 — Mərkəz kimi koordinatların yarım fərqi (B − A)/2 = (2; −2; −3) götürülüb. Mərkəz orta nöqtədir: (A + B)/2.
• (x + 1)² + (y − 4)² + (z − 2)² = 68 — A nöqtəsi mərkəz, AB isə radius sayılıb. A sferanın üzərindədir, mərkəzi deyil.
• (x + 1)² + (y + 2)² + (z − 1)² = 17 — Radius düzgündür, mərkəzin işarələri isə mötərizələrə dəyişdirilmədən yazılıb; bu sferanın mərkəzi (−1; −2; 1)-dir.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «Sferanın tənliyi», səh. 62–63, tapşırıq 11.