Üstlü tənliklər sistemi

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: iki min dördüncü il, kinoteatrda iki yeni film eyni vaxtda nümayişə başlayır. Birinci filmin başlanğıcda cəmi dörd min tamaşaçısı var, amma hər il tamaşaçıları dörddə bir qədər artır. İkinci film isə on iki min tamaşaçı ilə güclü başlayır, lakin hər il tamaşaçılarının yüzdə on üçünü itirir. Biri əvvəlcə yavaş, sonra getdikcə daha sürətlə yüksəlir. O biri isə hər il bir az da sönür. Sual sadədir: bu iki filmin tamaşaçı sayı nə vaxtsa bərabər olacaqmı? Olacaqsa, neçə dəfə? Bir dəfə, iki dəfə, yoxsa heç vaxt? Bu sual bizi bugünkü mövzuya, üstlü tənliklər sisteminə aparır. Bu dinləmə dərsində hesablamaları bir-bir saymayacağıq; onları oxu dərsində və videoda addım-addım görəcəksiniz. Burada başqa iş görəcəyik: bu cür sistemlərin arxasındakı fikri anlayacağıq. Dərsin sonunda isə kinoteatrdakı suala qayıdacağıq. Əvvəlcə, sistem nədir? Tənliklər sistemi bir neçə şərtin eyni anda ödənməsi deməkdir. Xətti tənliklər sistemini artıq tanıyırsınız: iki naməlum, iki tənlik, və biz elə bir ədəd cütü axtarırıq ki, hər iki tənliyi birdən doğru etsin. Yalnız birini ödəyən cüt cavab sayılmır. Bunu bir axtarışa bənzədin. Dostunuz gizlətdiyi hədiyyənin yerini iki ipucu ilə deyir. Birinci ipucu bütöv bir yolu göstərir, ikincisi başqa bir yolu. Hədiyyə yalnız bu iki yolun kəsişdiyi yerdədir. Tənliklər sistemində də hər tənlik öz yolunu çəkir, cavab isə onların görüşdüyü nöqtədir. Üstlü tənliklər sistemində fərq yalnız naməlumların gizləndiyi yerdədir: onlar qüvvətin üstündə oturur. Dərsliyimiz bunu sadə deyir: üstlü tənliklər sisteminin həlli digər tənliklər sisteminin həllindən fərqlənmir. Burada da əvəzetmə, cəbri toplama və qrafik üsul işləyir. Kinoteatrdakı iki film də elə belə bir sistemdir: iki əyri, və biz onların kəsişmə nöqtəsini axtarırıq. İndi birinci açara keçək: eyni əsasa gətirmək. Üstlü tənlikdə əsas çətinlik odur ki, naməlum yuxarıda, üstdə gizlənib. Onu aşağı endirməyin ən gözəl yolu bərabərliyin hər iki tərəfini eyni əsaslı qüvvət kimi yazmaqdır. Bunun niyə işlədiyini bir pilləkənlə təsəvvür edin. Əsas birdən böyükdürsə, qüvvət, üstü artdıqca yalnız yuxarı qalxan pilləkənə bənzəyir: heç vaxt geri enmir və eyni hündürlüyə ikinci dəfə çatmır. Əsas sıfırla bir arasındadırsa, pilləkən yalnız aşağı enir. Hər iki halda hər hündürlük yalnız bir pillədədir. Ona görə də əsasları eyni olan iki qüvvət bərabərdirsə, onların üstləri də bərabərdir. Dərslikdəki qayda budur: a-nın x qüvvəti a-nın y qüvvətinə bərabərdirsə, onda x bərabərdir y-ə. Dərslikdəki birinci nümunədə məhz bu baş verir. Bir tənlikdə doqquzun qüvvəti yeddi yüz iyirmi doqquza bərabərdir. Yeddi yüz iyirmi doqquz isə doqquzun kubudur. O biri tənlikdə üçün qüvvəti birə bərabərdir, bir isə üçün sıfırıncı qüvvətidir. Əsaslar eyniləşən kimi üstlər bərabərləşir və üstlü sistem bir anda tanış xətti sistemə çevrilir. Qalanı artıq bildiyiniz hesabdır. İkinci açar: yeni naməlum daxil etmək. Bəzən əsaslar eyni olur, amma qüvvətlər bir-birinə toplanır və ya bir-birindən çıxılır. Belə cəmdə üstləri birbaşa müqayisə etmək olmur. Burada başqa bir fənd işə düşür. Bütöv qüvvəti yeni bir hərflə adlandırırıq, uzun adı olan dostumuzu qısa ləqəbi ilə çağırdığımız kimi. Məsələn, üçün x qüvvətinə sadəcə u deyirik, üçün y qüvvətinə isə v. Qorxulu üstlər bir anda gözdən itir və qarşımızda adi cəbri sistem, bəzən də tanış kvadrat tənlik qalır. Onu həll edirik, sonra ləqəbləri geri qaytarıb soruşuruq: üç hansı qüvvətdə bu ədədi verir? Amma burada bir tələ var, və bu, mövzunun ən vacib yoxlamasıdır. Müsbət əsasın qüvvəti həmişə müsbətdir. Üst nə qədər böyük və ya nə qədər mənfi olsa da, nəticə heç vaxt sıfır və ya mənfi olmur; üstlü funksiyanın qrafiki həmişə x oxundan yuxarıda qalır. Dərslikdəki bir nümunədə yeni naməlum iki qiymət alır: doqquz və mənfi üç. Doqquz uyğundur, çünki üçün kvadratıdır. Mənfi üç isə atılır, çünki üçün heç bir qüvvəti mənfi ola bilməz. Ona görə də yeni naməlumun hər tapılan qiymətinə bir sual verin: bu ədəd müsbətdirmi? Müsbət deyilsə, ondan heç bir cavab çıxmır. Bu kiçik yoxlama çox vaxt düzgün həlli səhv həldən ayıran addımdır. İndi bu fikrin elmə necə toxunduğuna baxaq. Min səkkiz yüz doxsan səkkizinci ildə Mariya Küri yüksək radioaktivliyə malik radium və polonium maddələrini kəşf etdi və bu kəşflərinə görə Nobel mükafatına layiq görüldü. Radioaktiv maddə müəyyən müddətdə ilkin miqdarının yarısını itirir. Bu müddət hər maddə üçün sabitdir və yarımparçalanma dövrü adlanır. Radiumun bir izotopu, radium iki yüz iyirmi altı üçün bu müddət min altı yüz iyirmi ildir. Deməli, min altı yüz iyirmi ildən sonra maddənin yarısı qalır, daha bir o qədər vaxtdan sonra dörddə biri, sonra səkkizdə biri. Zaman keçdikcə miqdar azalır, amma bu modeldə heç vaxt sıfıra çatmır, mənfi isə heç ola bilməz. Bu, üstlü qüvvətin müsbətliyidir, sadəcə təbiətin dili ilə deyilib. Eyni fikir arxeoloqlara da kömək edir. Onuncu sinif dərsliyi bu bölməni Şəmkir şəhərində aparılan qazıntıların üzə çıxardığı qədim şəhərlə açır və yazır ki, arxeoloji qazıntılar zamanı qalıqların yaşını onların tərkibindəki karbon on dörd maddəsinin miqdarını hesablamaqla müəyyən edirlər. Bitki və ya heyvan öləndən sonra onun bədənindəki karbon on dörd parçalanmağa başlayır, yarımparçalanma müddəti isə təxminən beş min yeddi yüz otuz ildir. Qalığın yaşını tapmaq üçün üstlü tənlik həll olunur. On birinci sinif dərsliyi isə bu fəsli paleontoloqlarla açır. Onlar canlıların qalıqları və fəaliyyətlərinin izləri əsasında Yerin geoloji təkamülünü öyrənirlər və bu zaman çoxlu üstlü, loqarifmik tənliklər və tənliklər sistemləri həll etməli olurlar. Yəni bugünkü mövzu dərslikdən çıxıb Yerin keçmişini oxumağa kömək edir. İndi kinoteatra qayıdaq. İki filmin tamaşaçı sayı nə vaxtsa bərabər olacaqmı? Bəli, və yalnız bir dəfə. Birinci filmin tamaşaçıları ancaq artır, ikincininki ancaq azalır. Başlanğıcda birinci film aşağıdadır, sonra yuxarı keçir; yalnız qalxan və yalnız enən iki əyri isə bir-biri ilə ancaq bir dəfə görüşə bilər. Bu, eyni əsasa gətirmədəki həmin pilləkən fikridir. Qrafikdə bu görüş təxminən üçüncü ilə düşür. Dəqiq anı tapmaq üçün loqarifm lazımdır; onu növbəti mövzuda, loqarifmik tənliklər sistemində görəcəksiniz. Bu dərsdən yadda saxlamalı olduğunuz bir fikir var: üstlü tənliklər sistemi yeni bir dünya deyil, üstlərdə gizlənmiş tanış sistemdir. Onu üzə çıxarmaq üçün üç əsas addım var. Əsasları eyniləşdirin ki, üstlər bərabərləşsin. Mürəkkəb qüvvətlərə yeni ad verin. Və tapdığınız hər qiyməti yoxlayın, çünki müsbət əsasın qüvvəti heç vaxt mənfi olmur. Addım-addım həlli oxu dərsində və videoda görəcəksiniz. Dinlədiyiniz üçün təşəkkür edirəm.