Üstlü tənliklər sistemi — Həllərin sayı: simmetrik sistem

Simmetrik üstlü tənliklər sistemi: 2ˣ və 2ʸ-i yeni dəyişənlərlə əvəz edib cəm və hasil sistemini Viyet teoremi ilə kvadrat tənliyə gətirmək, iki sıralamanı nəzərə alıb həllərin sayını müəyyən etmək. 11-ci sinif, çətin səviyyə.

Tənliklər sisteminin neçə həlli var?

\begin{cases}2^{x}+2^{y}=6\\ 2^{x+y}=8\end{cases}

İzahı göstər

Üstlü tənliklər sistemi · izah

Həllərin sayı: simmetrik sistem

Tənliklər sisteminin neçə həlli var?

2x + 2y = 62x+y = 8

1 · Əsas fikir

Cəm və hasil — Viyet teoremi

Yadda saxla

u = 2x, v = 2y üçün u + v və u · v məlumdursa, u və v ədədləri t² − (u + v)t + uv = 0 tənliyinin kökləridir. Simmetrik sistemdə u ilə v-nin yeri dəyişəndə yeni həll alınır.

t² − 6t + 8 = 0

2 · Həll

Addım-addım

u = 2ˣ > 0, v = 2ʸ > 0: u + v = 6, u·v = 2x+y = 8.
u və v ədədləri t² − 6t + 8 = 0 tənliyinin kökləridir: t = 2 və t = 4.
İki imkan var: u = 2, v = 4 ⇒ (1; 2); u = 4, v = 2 ⇒ (2; 1).
Deməli, sistemin iki həlli var. Cavab: 2

2ˣ + 2ʸ = 6 əyrisi x + y = 3 düz xəttini iki nöqtədə kəsir

Narıncı düz xətt x + y = 3. Kəsişmə nöqtələri y = x düz xəttinə nəzərən simmetrikdir: x ilə y-in yerini dəyişəndə sistem dəyişmir.

3 · Yoxlama

Cavabı yerinə yaz

(1; 2): 2 + 4 = 6, 2³ = 8; (2; 1): 4 + 2 = 6, 2³ = 8.

4 · Diqqət

Digər cavablar niyə alınır?

Həlli yoxdur — kvadrat tənliyin hər iki kökü müsbətdir, həll mövcuddur.
1 — yalnız bir sıralama (u = 2, v = 4) götürülüb, yerdəyişmə unudulub.
3 — x + y = 3 ədədi həllərin sayı ilə qarışdırılıb.
Sonsuz sayda — yalnız x + y = 3 nəzərə alınıb, birinci tənlik unudulub.

Xülasə

Oxşar sistemdə belə et

Qüvvətləri yeni dəyişənlərlə əvəz et.
Viyet teoremi ilə kvadrat tənlik qur.
Hər iki sıralamanı yoxla və həlləri say.