Əyrinin əhatə etdiyi sahə

HTML dərsAzərbaycan

Dərsin mətni

6.54
11-ci sinif
İnteqral

Düzbucaqlının sahəsi en çarpı hündürlükdür. Bəs bir tərəfi əyri xətt olan fiqurun sahəsi? Onu əvvəl nazik düzbucaqlılarla qiymətləndirəcək, sonra ibtidai funksiya ilə dəqiq tapacağıq: S = F(b) − F(a).

Bu dərsdə

əyrixətli trapesiyanı və onun iki şərtini tanıyacaqsan;
sahəni düzbucaqlılarla aşağıdan və yuxarıdan qiymətləndirəcəksən;
S = F(b) − F(a) düsturunun haradan gəldiyini izah edib onu tətbiq edəcəksən.

Əyrixətli trapesiya və onu dolduran düzbucaqlılar

Başla Yenidən Yenidən

Yarpaq
Əyrixətli trapesiya
Qiymətləndir
Xırdala
Dəqiq sahə
Hesabla
Diqqət
Həyatda
Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Yarpağın sahəsini damalarla ölçək

Bitkinin nə qədər günəş işığı aldığını bilmək üçün onun yarpağının sahəsini ölçürlər. Yarpağın kənarı əyridir, hazır düstur yoxdur. Amma yarpağı damalı kağıza qoyub damaları saymaq olar.

Damanın tərəfi nə qədər olsun?

1 sm 0,5 sm

Yarpaq damalı kağızda

1 sm-lik damalar (hər biri 1 kv.sm): yarpağın tamamilə içində 6 dama var, kənar daha 19 damanı kəsir. Deməli, 6 kv.sm ≤ S ≤ 25 kv.sm.

0,5 sm-lik damalar (hər biri 0,25 kv.sm): 36 tam və 40 natamam dama. 36 · 0,25 = 9 və 76 · 0,25 = 19, yəni 9 kv.sm ≤ S ≤ 19 kv.sm.

Lime — tamamilə yarpağın içində qalan damalar, narıncı — yarpağın kənarının kəsdiyi damalar. Aşağı qiymət yalnız lime damaları, yuxarı qiymət hamısını sayır.

Damalar kiçiləndə aralıq daralır: 25 − 6 = 19 kv.sm-dən 19 − 9 = 10 kv.sm-ə. Xəta yalnız kənardakı damalardan gəlir və damalar xırdalandıqca azalır. Əyri xətlə hüdudlanmış fiqurların sahəsi də bu fikirlə tapılır — sadəcə damaların yerinə nazik düzbucaqlılar götürəcəyik.

2 · Qayda

Əyrixətli trapesiya

Yadda saxla

«f(x) funksiyasının qrafikinin [a; b] parçasında əhatə etdiyi sahə dedikdə f funksiyasının qrafiki, absis oxu, x = a və x = b düz xətləri ilə hüdudlanmış fiqurun sahəsi nəzərdə tutulur.»

Bu fiqura əyrixətli trapesiya deyilir. İki şərt ödənməlidir:

f funksiyası [a; b] parçasında kəsilməzdir;
f bu parçada mənfi olmayan qiymətlər alır: f(x) ≥ 0.

Əyrixətli trapesiyanın sərhədləri

Yuxarıdan qrafik, aşağıdan absis oxu, yanlardan x = a və x = b düz xətləri: dörd sərhəd, biri əyri.

Niyə «trapesiya»?

y = kx + m

Qrafik düz xətt olsa, fiqur adi düzbucaqlı trapesiya olar. Əyri qrafikdə yuxarı tərəf əyilir — buna görə «əyrixətli».

Niyə f(x) ≥ 0?

qrafik oxun üstündə

Onda fiqur tamamilə absis oxundan yuxarıda qalır. Qrafikin oxun altına düşdüyü hala növbəti mövzuda baxacağıq.

3 · Qiymətləndir

Düzbucaqlılar sahəni sıxışdırır

Hazır düstur olmayanda sahəni iki düzbucaqlı cəmi arasında «sıxışdırırıq»: biri fiqurun içində qalır, o biri onu örtür.

Nümunə 1Aşağıdan və yuxarıdan

y = ½x + 3 qrafiki, absis oxu, x = 2 və x = 4 düz xətləri ilə hüdudlanmış fiqurun sahəsini qiymətləndirin.

Eni 2 olan düzbucaqlı, hündürlüyü sol ucda f(2) = 4: sahəsi 2 · 4 = 8. O, fiqurun içində qalır, deməli S-dən kiçikdir.
Hündürlüyü sağ ucda f(4) = 5: 2 · 5 = 10. Bu düzbucaqlı fiquru örtür, S-dən böyükdür. Deməli 8 < S < 10.
Parçanı iki hissəyə bölək (en 1), f(3) = 4,5. Aşağıdan: 1 · 4 + 1 · 4,5 = 8,5; yuxarıdan: 1 · 4,5 + 1 · 5 = 9,5. 8,5 < S < 9,5

y = ½x + 3 altındakı sahənin düzbucaqlılarla qiymətləndirilməsi

Lime düzbucaqlılar fiqurun içindədir, narıncı zolaqlar onları yuxarı qiymətə tamamlayır. Bölgü iki dəfə xırdalananda narıncı hissə iki dəfə azalır.

Aralığın uzunluğu 10 − 8 = 2-dən 9,5 − 8,5 = 1-ə endi. Bu fiqur əslində adi trapesiyadır, ona görə yoxlaya bilərik:

S = ½ · 2 · (4 + 5) = 9

Hər iki qiymətləndirmə 9-u düzgün sıxışdırır. Əyri üçün belə hazır düstur yoxdur, ona görə düzbucaqlıların sayını artıracağıq.

4 · Xırdala

Düzbucaqlılar çoxaldıqca

[a; b] parçasını n bərabər hissəyə bölək. Hər hissənin eni:

Δx = b − an /

Bölgü nöqtələri x0 = a, x1, …, xn = b. Hər hissədə hündürlüyü sol ucdakı qiymət olan düzbucaqlı qururuq və sahələri toplayırıq:

Sn = f(x0)Δx + f(x1)Δx+ … + f(xn−1)Δx

Düzbucaqlılar birlikdə pilləvari fiqur əmələ gətirir, Sn onun sahəsidir. Sağ ucları götürsək, başqa pilləvari fiqur alınar.

Gəl bunu y = ¼x² əyrisi altında [0; 4] parçasında yoxlayaq. Funksiya artandır, ona görə sol uclar aşağı, sağ uclar yuxarı qiyməti verir.

Neçə hissəyə bölək?

n = 4 n = 8 n = 16

y = ¼x² altında [0; 4] parçasında aşağı və yuxarı düzbucaqlılar

Başla Yenidən Yenidən

n = 4, Δx = 1: aşağı cəm 3,5, yuxarı cəm 7,5. Fərq 4.

n = 8, Δx = 0,5: aşağı cəm 4,375, yuxarı cəm 6,375. Fərq 2.

n = 16, Δx = 0,25: aşağı cəm 4,84375, yuxarı cəm 5,84375. Fərq 1.

Lime — sol uc hündürlükləri, narıncı — sağ uca qədər artıq hissə. Narıncı hissələrin cəmi fərqdir.

y = ¼x², [0; 4]

n	Δx	aşağı	yuxarı	fərq
4	1	3,5	7,5	4
8	0,5	4,375	6,375	2
16	0,25	4,84375	5,84375	1

Narıncı zolaqları sola sürüşdürüb üst-üstə qoysan, eni Δx, hündürlüyü f(4) − f(0) = 4 olan bir sütun alınar. Ona görə fərq həmişə 4 · Δx = 16n / -dir: n iki dəfə artanda fərq yarıya enir.

n → ∞ olanda fərq sıfıra gedir və hər iki cəm eyni ədədə yaxınlaşır. Bu ədəd sahədir:

S = lim Sn (n → ∞)

5 · Dəqiq sahə

Sahə funksiyası və F(b) − F(a)

Hər dəfə limit hesablamaq çətindir. Dərslik başqa yol göstərir: sahəyə funksiya kimi baxmaq.

S(x) — qrafikin altında [0; x] parçasına düşən sahə. x sağa getdikcə S(x) artır.
x-i kiçik h qədər artıraq. Sahə nazik bir zolaq qədər böyüyür. Zolağın eni h, hündürlüyü təqribən f(x)-dir: S(x + h) − S(x) ≈ h · f(x).
h-a bölüb h-ı sıfıra yaxınlaşdıraq: S(x + h) − S(x)h / → f(x). Bu, törəmənin tərifidir: S′(x) = f(x).
Deməli S(x) f-in ibtidai funksiyasıdır: S(x) = F(x) + C.

Sahə funksiyası S(x) və nazik zolaq

Mavi zolaq — S(x + h) − S(x). Onu eni h, hündürlüyü f(x) olan narıncı düzbucaqlı ilə əvəz edirik; h kiçildikcə fərq yox olur.

Yadda saxla

[a; b] parçasına düşən sahə iki sahə funksiyasının fərqidir:

S = S(b) − S(a)= F(b) + C − F(a) − C

S = F(b) − F(a)

Burada F — f-in istənilən ibtidai funksiyasıdır: C ixtisar olunur.

6 · Hesabla

Qiymətləndirmədən dəqiq cavaba

Nümunə 2Trapesiyanı yoxla

y = ½x + 3, absis oxu, x = 2 və x = 4 ilə hüdudlanmış fiqurun sahəsini tapın.

İbtidai funksiya: F(x) = x²4 / + 3x, çünki F′(x) = ½x + 3.
F(4) = 4 + 12 = 16, F(2) = 1 + 6 = 7.
S = 16 − 7 = 9 — düzbucaqlılarla tapdığımız 8,5 < S < 9,5 aralığındadır. S = 9 kv. vahid

Nümunə 3Əyrinin altında

y = ¼x² əyrisi, absis oxu və x = 4 düz xətti ilə hüdudlanmış fiqurun sahəsini tapın.

Sərhədlər: əyri oxa x = 0-da toxunur, deməli a = 0, b = 4.
F(x) = x³12 / , çünki F′(x) = 3x²12 / = ¼x².
S = F(4) − F(0) = 6412 / − 0 = 163 / ≈ 5,33. Cədvəldəki 4,84 < 5,33 < 5,84 ilə uyğundur. S = 163 / kv. vahid

7 · Diqqət

F(a)-nı çıxmağı unutma

y = ⅕x² + 3 qrafiki, absis oxu, x = 2 və x = 5 ilə hüdudlanmış fiqur. İbtidai funksiya F(x) = x³15 / + 3x.

Səhv

S = F(5) = 23⅓

F(5) bütün [0; 5] parçasının sahəsidir: soldakı [0; 2] hissəsi də içindədir.

Düzgün

S = 23⅓ − 6815 / = 16⅘

F(2) = 815 / + 6 — kənarda qalan hissədir, onu çıxırıq.

F(5) və F(2) hansı sahələri ölçür

Qırmızı ştrixli hissə F(2), lime hissə axtarılan sahə; birlikdə F(5).

Sərhədləri x oxunda oxu. a və b — x-in qiymətləridir: burada 2 və 5. Qrafikin y oxundakı qiymətləri (3, 8) hündürlüklərdir, sərhəd deyil.

Sahə mənfi ola bilməz. f(x) ≥ 0 olanda F(b) − F(a) ≥ 0 alınmalıdır. Mənfi cavab adətən a ilə b-nin yerinin dəyişdiyini və ya ibtidai funksiyada işarə səhvini göstərir.

8 · Həyatda

Sürət qrafikinin altındakı sahə — yol

Qatar saat 07:00-dan 09:00-a qədər 90 km/saat sürətlə gedir. Onun sürət qrafiki üfüqi düz xəttdir, altındakı fiqur düzbucaqlıdır: 90 · 2 = 180 km. Bu, qatarın getdiyi yoldur.

Velosipedçinin sürət qrafiki və yol

Sürət dəyişəndə də yol sürət qrafikinin altındakı sahədir.

Velosipedçi yerindən tərpənib sürətini bərabər artırır: v(t) = 4 + t (m/san). 6 saniyədə nə qədər yol gedər?

F(t) = 4t + t²2 / S = F(6) − F(0)= 24 + 18 − 0 = 42 m

Yoxlama: fiqur trapesiyadır, ½ · 6 · (4 + 10) = 42.

Burada F(t) başlanğıcdan keçilən yoldur — sahə funksiyası S(x)-in rolunu oynayır.

9 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

Asan y = x + 1, [0; 2]. Eni 1 olan iki düzbucaqlının hündürlükləri sol uclardadır. Onların sahələri cəmi neçədir? Cavab variantları 5 3 4 Düzdür! 1 · f(0) + 1 · f(1) = 1 + 2 = 3 — aşağı qiymət. Sol uclar x = 0 və x = 1-dir: hündürlüklər f(0) və f(1). Həllə bax 1 · f(0) + 1 · f(1) = 1 · 1 + 1 · 2 = 3. Sağ uclar 2 + 3 = 5 verərdi, dəqiq sahə isə 4-dür.
Asan y = 3x² əyrisi, absis oxu və x = 1 düz xətti ilə hüdudlanmış fiqurun sahəsi neçədir? Cavab variantları 3 ⅓ 1 Əla! F(x) = x³, S = 1 − 0 = 1. 3x²-in ibtidai funksiyası x³-dur: əmsalı itirmə və f(1)-i sahə sanma. Həllə bax Sərhədlər 0 və 1. F(x) = x³, çünki (x³)′ = 3x². S = F(1) − F(0) = 1.
Orta y = 2x + 1, absis oxu, x = 1 və x = 3 ilə hüdudlanmış fiqurun sahəsi neçədir? Cavab variantları 12 10 8 Düzdür! F(3) − F(1) = 12 − 2 = 10. F(x) = x² + x. F(a)-nı çıxdınmı? +x hissəsini unutmadınmı? Həllə bax F(x) = x² + x. F(3) = 12, F(1) = 2, S = 12 − 2 = 10. Yoxlama: trapesiya, ½ · 2 · (3 + 7) = 10.
Orta y = x², [0; 2], n = 4. Sol uclarla qurulan aşağı cəm neçədir? Cavab variantları 3,75 3,5 1,75 Düzdür! 0,5 · (0 + 0,25 + 1 + 2,25) = 1,75. Δx = 0,5. Sol uclar 0; 0,5; 1; 1,5 — və cəmi Δx-ə vurmağı unutma. Həllə bax Δx = 2/4 = 0,5. Hündürlüklər f(0) = 0, f(0,5) = 0,25, f(1) = 1, f(1,5) = 2,25; cəmi 3,5. S4 = 0,5 · 3,5 = 1,75. Sağ uclar 3,75 verərdi.
Çətin y = ¼x², [0; 4]: n = 16 üçün yuxarı və aşağı cəmlərin fərqi 1-dir. n = 32 olsa, fərq neçə olar? Cavab variantları 0,5 2 1 Bəli! Fərq 16/n-dir: 16/32 = 0,5. Narıncı zolaqları üst-üstə qoy: eni Δx, hündürlüyü 4 olan sütun. Δx yarıya enəndə? Həllə bax Fərq = Δx · (f(4) − f(0)) = 4 · Δx = 16/n. n = 32 üçün 16/32 = 0,5. Düzbucaqlılar çoxaldıqca fərq azalır, artmır.
Çətin y = cos x əyrisi, absis oxu, x = 0 və x = π/2 ilə hüdudlanmış fiqurun sahəsi neçədir? Cavab variantları π/2 1 −1 Düzdür! sin(π/2) − sin 0 = 1. π/2 — hündürlüyü cos 0 = 1 olan düzbucaqlıdır, yalnız yuxarı qiymət. Sahə mənfi ola bilməz: (sin x)′ = cos x. Həllə bax cos x ≥ 0 bu parçada. F(x) = sin x, S = sin(π/2) − sin 0 = 1 − 0 = 1.

Xülasə

Yadda qalanlar

Əyrixətli trapesiyaQrafik, absis oxu, x = a və x = b ilə hüdudlanır; f [a; b]-də kəsilməz və f(x) ≥ 0.
Sn → SParçanı n hissəyə böl, düzbucaqlıları topla: n artdıqca aşağı və yuxarı cəmlər S-ə yaxınlaşır.
S = F(b) − F(a)S′(x) = f(x), ona görə sahə ibtidai funksiyanın artımıdır; F(a)-nı çıxmağı unutma.

Növbəti mövzu: 6.55 Müəyyən inteqral və sahə

Mənbə: «Riyaziyyat» — 11-ci sinif üçün dərslik (CC BY-NC-SA 4.0): «Əyrinin əhatə etdiyi sahə», səh. 232–233 (yarpaq girişi, tərif və şərtlər, Nümunə 1 və onun iki hissəyə bölünməsi, bölgü); «Müəyyən inteqral və sahə», səh. 234–236 (pilləvari fiqur və cəm, qatar nümunəsi, y = ¼x² tapşırığı); «Müəyyən inteqral. Nyuton-Leybnis düsturu», səh. 239 (sahə funksiyası, S = F(b) − F(a), y = ⅕x² + 3 nümunəsi). Yarpaq şəkli və onun damaları, n = 16 bölgüsü, velosipedçi nümunəsi və yoxlama sualları bu dərs üçün hazırlanıb.