Əyrinin əhatə etdiyi sahə: damalı vərəqdən inteqrala

Mətn (transkript)

Masanın üstündə bir yarpaq var. Təzə, yaşıl, kənarları yumşaq əyilən adi bir yarpaq. Bitkinin nə qədər günəş işığı aldığını təxmin etmək istəsək, əvvəlcə bir şeyi bilməliyik: bu yarpağın sahəsi nə qədərdir? Düzbucaqlının sahəsini hamımız tapa bilirik. Dairənin də öz düsturu var. Bəs yarpağın? Onun kənarı nə düz xətdir, nə də çevrə. Bu gün danışacağımız sual da elə budur: kənarı əyri olan fiqurun sahəsini necə ölçək? Cavab isə sadə bir damalı vərəqdən başlayır. Bu dərsdə dörd addım atacağıq. Əvvəlcə yarpağı damalarla ölçəcəyik. Sonra eyni fikri qrafikin altındakı sahəyə köçürəcəyik. Üçüncü addımda bu fiqurun adını və şərtlərini öyrənəcəyik. Sonda isə görəcəyik ki, sonsuz sayda zolağı bir-bir toplamağa ehtiyac yoxdur. Birinci addım: damaları sayırıq. Yarpağı hər daması bir kvadrat santimetr olan vərəqin üstünə qoyuruq və karandaşla kənarını çəkirik. İndi iki cür dama görürük. Bəziləri tamamilə yarpağın içindədir. Bizim yarpaqda belə dama cəmi birdir. Digərlərindən isə yarpağın kənarı keçir: onlar bir az içəridə, bir az çöldədir. Belə damalar on səkkizdir. Bu, bizə nə deyir? Yarpağın sahəsi heç olmasa tam damalar qədərdir, yəni ən azı bir kvadrat santimetr. Tam və yarımçıq damaların hamısını birlikdə götürsək, yarpaq onların içində tamamilə yerləşir. Deməli, onun sahəsi on doqquz kvadrat santimetrdən çox deyil. Cavab birlə on doqquz arasındadır. Doğrudur, amma çox kobuddur. İndi damaları kiçildək. Hər damanın tərəfini yarı edək. Onda bir dama kvadrat santimetrin dörddə biri olur. Yarpağı yenidən sayırıq: tam damalar on altıdır, yarımçıqlar otuz dörd. On altı dörddəbir dörd kvadrat santimetr edir. Bütün damalar birlikdə əlli dörddəbirdir, yəni on iki yarım kvadrat santimetr. Aralıq əvvəl birdən on doqquza qədər idi. İndi dörddən on iki yarıma qədərdir. Burada dərsin ən vacib fikri gizlənib. Əlimizdə həmişə iki ədəd var. Biri aşağıdan qiymətləndirir: həqiqi sahə ondan kiçik ola bilməz. Digəri yuxarıdan qiymətləndirir: həqiqi sahə ondan böyük ola bilməz. Damalar kiçildikcə bu iki ədəd, sıxacın iki çənəsi kimi, bir-birinə yaxınlaşır. Həqiqi sahə isə həmişə onların arasında qalır. İkinci addım: yarpağı qrafiklə əvəz edirik. Koordinat müstəvisində yavaş-yavaş qalxan düz bir xətt təsəvvür edin. İks iki olanda onun hündürlüyü dörddür, iks dörd olanda isə beşdir. Biz bu xəttin altında, absis oxunun üstündə qalan hissənin sahəsini axtarırıq. Soldan fiquru iks bərabərdir iki xətti, sağdan isə iks bərabərdir dörd xətti bağlayır. Bunları iki şaquli divar kimi düşünün. Bu dəfə damalar yox, düzbucaqlılar götürək. Divarlar arasındakı məsafə ikidir, bu, düzbucaqlının enidir. Hündürlüyü sol ucdan, yəni dörd götürsək, sahə səkkiz alınır. Bu düzbucaqlı tamamilə xəttin altında qalır, ona görə səkkiz həqiqi sahədən azdır. Hündürlüyü sağ ucdan, yəni beş götürsək, sahə on olur. Bu dəfə düzbucaqlı xəttdən yuxarı çıxır, və on həqiqi sahədən çoxdur. Deməli, sahə səkkizlə on arasındadır. Yarpaqdakı tam və yarımçıq damaları xatırlayırsınız? Eyni fikirdir. İndi fiquru iki ensiz zolağa bölək, hər birinin eni bir olsun. Aşağıdakı düzbucaqlıları toplasaq, səkkiz yarım alırıq. Yuxarıdakıları toplasaq, doqquz yarım. Aralıq ikidən birə endi. Əslində bu fiqur adi trapesiyadır, və dərslik onun dəqiq sahəsini də verir: doqquz. Bir düzbucaqlı ilə səhvimiz bir vahid idi, iki zolaqla yarım vahid oldu. Zolaqlar incəldikcə səhv kiçilir. Üçüncü addım: düz xətt əvəzinə əyri. Əgər yuxarı kənar düz deyil, əyridirsə, trapesiyanın düsturu artıq kömək etmir. Amma zolaq üsulu yenə işləyir. Belə fiqura riyaziyyatda əyrixətli trapesiya deyilir. Onu dörd sərhəd bağlayır: yuxarıdan funksiyanın qrafiki, aşağıdan absis oxu, yanlardan isə iks bərabərdir a və iks bərabərdir be düz xətləri. Funksiyanın bu parçada əhatə etdiyi sahə deyəndə məhz bu fiqurun sahəsini nəzərdə tuturuq. Bunun üçün iki şərt lazımdır. Birincisi, funksiya bu parçada kəsilməz olmalıdır: qrafiki karandaşı vərəqdən qaldırmadan çəkə bilməliyik, yoxsa yuxarı kənarda boşluq yaranar. İkincisi, funksiya mənfi olmayan qiymətlər almalıdır, yəni qrafik oxun altına enməməlidir. Qrafik oxun altına düşəndə nə baş verdiyi ayrıca bir hekayədir. Onu növbəti dərsdə danışacağıq. Üsulun özü belədir. A ilə be arasındakı parçanı bir neçə bərabər hissəyə bölürük. Hər hissənin üstündə bir düzbucaqlı qururuq, hündürlüyünü ya sol ucdan, ya da sağ ucdan götürürük. Düzbucaqlılar birlikdə pilləkənə bənzər bir fiqur yaradır, və onların sahələrinin cəmi axtardığımız sahəyə yaxındır. İndi zolaqları getdikcə incəldirik. Pillələr xırdalanır, cəm isə bir ədədə yaxınlaşır. Həmin ədəd sahənin özüdür. Riyaziyyatda ona müəyyən inteqral deyilir. A onun aşağı sərhədi, be isə yuxarı sərhədidir. Bu sahə yalnız həndəsə deyil. Dərslikdə belə bir qatar var: səhər saat yeddidən doqquza qədər saatda doxsan kilometr sürətlə gedir. Onun sürətinin qrafiki doxsan hündürlüyündə üfüqi bir xətdir. Bu xəttin altındakı sahə hündürlüyü doxsan, eni iki saat olan düzbucaqlıdır, yəni yüz səksən. Bu isə qatarın getdiyi yoldur: yüz səksən kilometr. Sürət qrafikinin altındakı sahə gedilən yolu göstərir. Dördüncü addım: sonsuz sayda zolağı toplamaq lazımdırmı? Xoşbəxtlikdən, yox. Sol divarı yerində saxlayaq, sağ divarı isə yavaş-yavaş sağa sürüşdürək. Divar irəlilədikcə sahə böyüyür, yəni sahə divarın yerindən asılı bir funksiyaya çevrilir. Divarı çox kiçik bir addım irəli itələsək, sahəyə nazik bir zolaq əlavə olunur. Bu zolaq demək olar ki, düzbucaqlıdır, və onun hündürlüyü elə həmin yerdə qrafikin hündürlüyüdür. Deməli, sahə qrafikin hündürlüyü qədər sürətlə artır. Qrafik harada yüksəkdirsə, sahə orada tez böyüyür, harada alçaqdırsa, yavaş. Riyaziyyat dilində bu o deməkdir ki, sahə funksiyasının törəməsi funksiyanın özüdür, yəni sahə funksiyası onun ibtidai funksiyalarından biridir. Buradan dərsin yeganə düsturu çıxır: əyrinin a ilə be arasında əhatə etdiyi sahə ibtidai funksiyanın be nöqtəsindəki qiyməti ilə a nöqtəsindəki qiymətinin fərqinə bərabərdir. Hesablama addımlarını oxu dərsində və videoda birlikdə izləyəcəyik. İmtahanda bu fikri iki yerdə xatırlayın. Birincisi, sərhədlər həmişə absis oxundan oxunur. Onlar şaquli divarların iks qiymətləridir, qrafikin hündürlükləri deyil. İkincisi, divarlar verilməyəndə qrafik özü oxa enib qalxır. Məsələn, oxun üstündə tağ kimi qalxan parabola oxu iki nöqtədə kəsir. Həmin iki kök fiqurun divarlarıdır. Hər dəfə özünüzdən soruşun: fiqur oxun üstündədirmi, sol və sağ divar haradadır? Gəlin yarpağa qayıdaq. Damalı vərəqlə yarpağı ölçən adam və inteqral yazan riyaziyyatçı əslində eyni işi görür. Hər ikisi sahəni aşağıdan və yuxarıdan sıxır, sonra xanaları kiçildir, ta ki iki qiymət bir-birinə qovuşana qədər. Yadda saxlamalı olduğunuz bir fikir budur: əyrinin altındakı sahə getdikcə incələn düzbucaqlıların cəminin yaxınlaşdığı ədəddir, və o, həmişə aşağı və yuxarı qiymətləndirmənin arasında qalır. Növbəti dəfə qarşınıza kənarı əyri olan bir fiqur çıxanda, ona damalı vərəqin gözü ilə baxın.