y = 4x − x² funksiyasının qrafiki və absis oxu ilə hüdudlanmış fiqurun sahəsini tapın (kv. vahid).
İzahı göstər
İzah · Əyrinin əhatə etdiyi sahə
Parabola və absis oxu ilə hüdudlanmış fiqurun sahəsi
Əsas fikir
Şərtdə x = a və x = b düz xətləri verilməyib. Fiqurun sol və sağ ucları parabolanın absis oxunu kəsdiyi nöqtələrdir: orada fiqurun «şaquli tərəfi» bir nöqtəyə çevrilir.
Bu iki kök arasında funksiya mənfi deyilsə, fiqur həmin parçada əyrixətli trapesiyadır və S = F(b) − F(a).
4x − x² = 0 ⇒ a = 0, b = 4
y = 4x − x² və absis oxu ilə hüdudlanmış fiqur
Parabolanın qolları aşağı yönəlib. Absis oxunu x = 0 və x = 4-də kəsir, təpəsi (2; 4) nöqtəsidir. Ştrixlənmiş fiqur [0; 4] parçasında yerləşir.
Addım-addım həll
- Sərhədləri tapırıq: 4x − x² = 0 ⇒ x(4 − x) = 0 ⇒ x = 0 və ya x = 4.
- İşarəni yoxlayırıq: 0 < x < 4 olduqda x > 0 və 4 − x > 0-dır, ona görə f(x) > 0. Məsələn, f(2) = 4. Fiqur [0; 4] parçasında əyrixətli trapesiyadır.
- İbtidai funksiya: F(x) = 2x² − x³/3.
- Qiymətlər: F(4) = 32 − 64/3 = 32/3, F(0) = 0.
- S = 32/3 − 0 = 32/3 = 10⅔ kv. vahid.
Cavab: S = 32/3 = 10⅔ kv. vahid
Yoxlama
Təpələri (0; 0), (2; 4), (4; 0) olan üçbucaq fiqurun içindədir, sahəsi ½ · 4 · 4 = 8-dir. Tərəfləri 4 və 4 olan düzbucaqlı isə fiquru örtür, sahəsi 16-dır. 8 < 10⅔ < 16, cavab uyğundur.
Niyə digər cavablar səhvdir
- 5⅓— Bu, yalnız [0; 2] parçasındakı sahədir: təpənin absisi sərhəd kimi götürülüb. Fiqur x = 4-ə qədər uzanır.
- 21⅓— Bu, doğru cavabın iki mislidir: fiqur simmetrik olduğu üçün sahə səhvən ikiqat sayılıb. ∫₀⁴ artıq bütün fiquru əhatə edir.
- 32— Bu, yalnız 2x² hissəsinin x = 4-dəki qiymətidir. −x³/3 hissəsi (−64/3) unudulub.
- 16— Bu, fiquru örtən 4 × 4 düzbucaqlısının sahəsidir. Parabola bu düzbucaqlının bir hissəsini boş saxlayır.
Oxşar tapşırıqda
Sərhədlər verilməyəndə əvvəlcə f(x) = 0 tənliyini həll edin. Köklər inteqralın sərhədləridir. Sonra aralarında funksiyanın mənfi olmadığını bir nöqtədə yoxlayın.
Mənbə: Riyaziyyat 11, fiziki s. 244 (çap 242), s. 235 (çap 233).
