Vuruqlara ayrılmış çoxhədlinin bütün kökləri

1 · Əsas fikir

Cəbrin əsas teoremi və onun nəticəsi

Qayda

Cəbrin əsas teoremi. Dərəcəsi sıfırdan böyük olan istənilən çoxhədlinin kompleks ədədlər çoxluğunda ən azı bir kökü var.

Nəticə. n dərəcəli çoxhədlinin kompleks ədədlər çoxluğunda təkrarlanan köklər də daxil olmaqla n sayda kökü var.

(x − r)ᵏ vuruğu r kökünü k dəfə verir.

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələVuruqlara ayrılmış çoxhədlinin bütün kökləri

P(x) = (x − 2)²(x + 1)(x² + 9) çoxhədlisinin bütün köklərini (təkrarlananlar daxil) tapın.

1. Təkrarlanan vuruq. (x − 2)² = 0 ⇒ x = 2; vuruq kvadratdadır, ona görə 2 iki dəfə yazılır: x₁ = x₂ = 2.
2. Xətti vuruq. x + 1 = 0 ⇒ x₃ = −1.
3. Kvadrat vuruq. x² + 9 = 0 ⇒ x² = −9. Həqiqi ədədin kvadratı mənfi olmur, amma i² = −1 olduğundan −9 = 9i² = (3i)²; deməli, x₄ = 3i, x₅ = −3i.
4. Sayı yoxlayırıq. Dərəcə 2 + 1 + 2 = 5, köklər də 5‑dir: 2; 2; −1; 3i; −3i.

Cavab: 2; 2; −1; 3i; −3i

Vuruq → kök

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

(3i)² + 9 = −9 + 9 = 0 və (−3i)² + 9 = 0. P(2) = 0, P(−1) = 0. Beş kök var, çoxhədli də 5 dərəcəlidir — Nəticə ödənir.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv yanaşma

x² + 9 = (x − 3)(x + 3)

Bu, x² − 9‑un ayrılışıdır: 3² + 9 = 18 ≠ 0.

Düzgün

x² + 9 = (x − 3i)(x + 3i)

Çünki (3i)² = −9; köklər ±3i‑dir.

Digər cavablar niyə səhvdir

• 2; −1; 3i; −3i — (x − 2)² vuruğu 2 kökünü iki dəfə verir, burada isə bir dəfə yazılıb. P(x) 5 dərəcəlidir, Nəticəyə görə təkrarlananlar daxil 5 kökü olmalıdır, bu siyahıda isə 4 kök var.
• 2; 2; −1; 3; −3 — x² + 9 vuruğu x² − 9 kimi ayrılıb. Əslində x² + 9 = 0 ⇒ x² = −9 ⇒ x = ±3i; həqiqi 3 bu vuruğu sıfra çevirmir: 3² + 9 = 18.
• −2; −2; 1; 3i; −3i — (x − r) vuruğunun kökü r‑dir, −r yox: x − 2 = 0 ⇒ x = 2, x + 1 = 0 ⇒ x = −1. İşarələr tərsinə götürülüb.
• 2; 2; −1; 9i; −9i — x² = −9 tənliyində kvadrat kök alınmayıb: x = ±3i olmalıdır. Yoxlama: (9i)² + 9 = −81 + 9 = −72 ≠ 0.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif» (Elm və Təhsil Nazirliyi), «Cəbrin əsas teoremi», səh. 21–23.