Verilmiş köklərə görə ən kiçik dərəcəli çoxhədli

1 · Əsas fikir

Köklərə görə həqiqi əmsallı çoxhədli

Qayda

Qoşma kök. a + bi ədədi həqiqi əmsallı çoxhədlinin köküdürsə, qoşma a − bi ədədi də onun köküdür. Bu iki kökə həqiqi əmsallı kvadrat vuruq uyğundur:

(x − a − bi)(x − a + bi) = (x − a)² − (bi)² = (x − a)² + b²

Həqiqi r kökünə (x − r) vuruğu uyğundur.

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələVerilmiş köklərə görə ən kiçik dərəcəli çoxhədli

Baş əmsalı 1, kökləri arasında −3 və 1 − 3i olan ən kiçik dərəcəli həqiqi əmsallı çoxhədlini vuruqlar şəklində yazın.

1. Qoşma kökü əlavə edirik. Əmsallar həqiqidir, ona görə 1 − 3i ilə birlikdə 1 + 3i də kökdür.
2. Dərəcəni seçirik. Köklər: −3, 1 − 3i, 1 + 3i — ən kiçik dərəcə 3.
3. Qoşma cütü yığırıq. (x − 1 + 3i)(x − 1 − 3i) = (x − 1)² − (3i)² = x² − 2x + 1 + 9 = x² − 2x + 10.
4. Həqiqi kökün vuruğunu əlavə edirik. x = −3 ⇒ x + 3. Baş əmsal 1: P(x) = (x + 3)(x² − 2x + 10).

Cavab: (x + 3)(x² − 2x + 10)

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

x² − 2x + 10 = 0 tənliyinin kökləri: x = 1 ± √(1 − 10) = 1 ± √(−9) = 1 ± 3i. x + 3 = 0 ⇒ x = −3. Hər üç kök alınır, baş əmsal 1‑dir.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv yanaşma

(x − 1)² − (3i)² = (x − 1)² − 9

i² = 1 kimi götürmək.

Düzgün

(x − 1)² − (3i)² = (x − 1)² + 9

(3i)² = 9i² = −9.

Digər cavablar niyə səhvdir

• (x + 3)(x² + 2x + 10) — Qoşma cütün vuruğunda işarə səhvi: (x − 1)² = x² − 2x + 1‑dir. x² + 2x + 10‑un kökləri −1 ± 3i olardı, 1 − 3i yox.
• (x + 3)(x² − 2x − 8) — (3i)² = 9 kimi götürülüb (i² = 1): (x − 1)² − 9. Əslində (x − 1)² − (3i)² = (x − 1)² + 9. Həm də x² − 2x − 8 = (x − 4)(x + 2) — kökləri həqiqidir.
• (x − 3)(x² − 2x + 10) — x₁ = −3 kökünə x + 3 vuruğu uyğundur; x − 3 vuruğunun kökü 3‑dür.
• (x + 3)(x² − 2x + 4) — (3i)² hesablananda 3 kvadrata yüksəldilməyib: (x − 1)² + 3. Doğrusu (x − 1)² − 9i² = (x − 1)² + 9 = x² − 2x + 10.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif» (Elm və Təhsil Nazirliyi), «Cəbrin əsas teoremi», səh. 21–23.