Kompleks kökə görə kub tənliyin həqiqi kökü

1 · Əsas fikir

Kompleks kök verildikdə

Qayda

Qoşma kök. a + bi ədədi həqiqi əmsallı çoxhədlinin köküdürsə, qoşma a − bi ədədi də onun köküdür. Bu iki kökə həqiqi əmsallı kvadrat vuruq uyğundur:

(x − a − bi)(x − a + bi) = (x − a)² − (bi)² = (x − a)² + b²

Kub çoxhədlidə qoşma cütün kvadrat vuruğundan sonra bir xətti vuruq (x − r) qalır — o, həqiqi kökü verir.

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələKompleks kökə görə kub tənliyin həqiqi kökü

a həqiqi ədəddir, 1 + i ədədi x³ + ax² + 8x − 6 = 0 tənliyinin köküdür. Tənliyin həqiqi kökünü tapın.

1. Qoşma kök. Bütün əmsallar həqiqidir, ona görə 1 − i də kökdür.
2. Kvadrat vuruq. (x − 1 − i)(x − 1 + i) = (x − 1)² − i² = x² − 2x + 2.
3. Üçüncü vuruq. Həqiqi kök r olsun: (x² − 2x + 2)(x − r) = x³ − (r + 2)x² + (2r + 2)x − 2r.
4. Əmsalları müqayisə edirik. Sərbəst hədd: −2r = −6 ⇒ r = 3. x‑in əmsalı: 2r + 2 = 8 ⇒ r = 3 (uyğundur).
5. Parametr. x²-nın əmsalı: a = −(3 + 2) = −5. Həqiqi kök x = 3.

Cavab: 3

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

a = −5 olduqda sintetik bölmə: 3 | 1 −5 8 −6 → 1 −2 2 | 0. Qismət x² − 2x + 2, kökləri 1 ± i — verilən kök alınır.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv yanaşma

Yalnız 1 + i ilə hesablamaq

Qoşmanı unudanda vuruqlar həqiqi olmur, məsələ çətinləşir.

Düzgün

1 ± i ⇒ x² − 2x + 2 vuruğu

Qoşma cüt həqiqi kvadrat vuruq verir, qalan vuruq x − r‑dir.

Digər cavablar niyə səhvdir

• −3 — Vuruqların müqayisəsində işarə səhvi: x − r vuruğunda sərbəst hədlər −2r = −6 verir, r = 3. −3 isə tənliyi ödəmir: (−3)³ − 5·9 − 24 − 6 = −102 ≠ 0.
• 2 — Bu, qoşma köklər cütünün üçhədlisi x² − 2x + 2‑nin sərbəst həddidir, həqiqi kök deyil: P(2) = 8 − 20 + 16 − 6 = −2 ≠ 0.
• 1 — Bu, 1 + i ədədinin həqiqi hissəsidir, tənliyin kökü deyil: P(1) = 1 − 5 + 8 − 6 = −2 ≠ 0.
• 6 — Sərbəst həddin modulu kök kimi götürülüb. Əslində −2r = −6 ⇒ r = 3; P(6) = 216 − 180 + 48 − 6 = 78 ≠ 0.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif» (Elm və Təhsil Nazirliyi), «Cəbrin əsas teoremi», səh. 21–23.