Kompleks kökü məlum olan dördüncü dərəcəli çoxhədli — Sual · 6.6 Cəbrin əsas teoremi

Mətn

2i ədədi aşağıdakı çoxhədlinin köküdür:

P(x) = x^{4} - 4x^{3} + 9x^{2} - 16x + 20

P(x) çoxhədlisinin digər üç kökünü tapın.

İzahı göstər

1 · Əsas fikir

Kompleks kökə görə bütün köklər

Qayda

Qoşma kök. a + bi ədədi həqiqi əmsallı çoxhədlinin köküdürsə, qoşma a − bi ədədi də onun köküdür. Bu iki kökə həqiqi əmsallı kvadrat vuruq uyğundur:

(x − a − bi)(x − a + bi) = (x − a)² − (bi)² = (x − a)² + b²

Xüsusi halda bi kökü üçün: (x − bi)(x + bi) = x² + b².

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələKompleks kökü məlum olan dördüncü dərəcəli çoxhədli

2i ədədi P(x) = x⁴ − 4x³ + 9x² − 16x + 20 çoxhədlisinin köküdür. Digər üç kökü tapın.

Qoşma kök. Əmsallar həqiqidir: 2i kökdürsə, −2i də kökdür.
Kvadrat vuruq. (x − 2i)(x + 2i) = x² − (2i)² = x² + 4.
Budaqlı bölmə. x⁴ − 4x³ + 9x² − 16x + 20 = (x² + 4)·x² − 4x³ + 5x² − 16x + 20; −4x³ − 16x = (x² + 4)·(−4x); 5x² + 20 = (x² + 4)·5. Qismət x² − 4x + 5, qalıq 0.
Qalan köklər. x² − 4x + 5 = 0: D = −4, x = (4 ± 2i)/2 = 2 ± i.
Cavab. Digər köklər: −2i; 2 + i; 2 − i (2i ilə birlikdə 4 kök).

Cavab: −2i; 2 + i; 2 − i

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

(x² + 4)(x² − 4x + 5) = x⁴ − 4x³ + 5x² + 4x² − 16x + 20 = x⁴ − 4x³ + 9x² − 16x + 20 — P(x) alınır.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv yanaşma

(x − 2i)(x + 2i) = x² − 4

i² = 1 kimi götürmək: bölmə qalıqsız alınmır.

Düzgün

(x − 2i)(x + 2i) = x² + 4

(2i)² = 4i² = −4.

Digər cavablar niyə səhvdir

−2i; −2 + i; −2 − i — x² − 4x + 5 üçün köklər düsturunda −b işarəsi səhv götürülüb: x = (4 ± 2i)/2 = 2 ± i.
−2i; 2 + 2i; 2 − 2i — (4 ± 2i)/2 hesablananda xəyali hissə 2‑yə bölünməyib; 2 + 2i ədədi x² − 4x + 5‑i sıfra çevirmir.
−2; 2 + i; 2 − i — 2i‑nin qoşması −2i‑dir, −2 yox: həqiqi hissə (0) qalır, xəyali hissənin işarəsi dəyişir. P(−2) = 16 + 32 + 36 + 32 + 20 = 136 ≠ 0.
−2i; 2 + 3i; 2 − 3i — (x − 2i)(x + 2i) = x² − 4i² = x² + 4‑dür. i² = 1 götürüb x² − 4‑ə bölmək x² − 4x + 13 qismətini və sıfırdan fərqli qalıq (−32x + 72) verir; qalıq nəzərə alınmayıb.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif» (Elm və Təhsil Nazirliyi), «Cəbrin əsas teoremi», səh. 21–23; budaqlı bölmə — «Çoxhədlinin çoxhədliyə bölünməsi», səh. 7–8.