Koordinat müstəvisində çoxhədli funksiyanın qrafiki: hər iki ucu aşağı yönəlib, x oxunu −2, −1, 1 və 2 nöqtələrində kəsir, y oxunu (0; −4) nöqtəsində kəsir; −2 ilə −1 və 1 ilə 2 arasında iki təpə x oxundan yuxarıdadır. Şəkildəki qrafik aşağıdakı funksiyalardan hansına uyğundur?

Qrafikə uyğun çoxhədli funksiya — Sual · 6.7 Çoxhədli funksiya

Mətn

Koordinat müstəvisində çoxhədli funksiyanın qrafiki: hər iki ucu aşağı yönəlib, x oxunu −2, −1, 1 və 2 nöqtələrində kəsir, y oxunu (0; −4) nöqtəsində kəsir; −2 ilə −1 və 1 ilə 2 arasında iki təpə x oxundan yuxarıdadır.

Şəkildəki qrafik aşağıdakı funksiyalardan hansına uyğundur?

İzahı göstər

1 · Əsas fikir

Qrafikdən düstura: üç yoxlama

Qayda

Arqumentin modulca böyük qiymətlərində çoxhədli özünü baş hədd aₙxⁿ kimi aparır. Uclar yalnız iki şeydən asılıdır: dərəcə n-in tək və ya cüt olmasından və aₙ-in işarəsindən.

Qrafikin ucları

	n tək	n cüt
aₙ > 0	sol aşağı, sağ yuxarı	ikisi də yuxarı
aₙ < 0	sol yuxarı, sağ aşağı	ikisi də aşağı

Sonra y oxu ilə kəsişmə (0; f(0)) və x oxu ilə kəsişmələr (sıfırlar) yoxlanılır.

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələQrafikə uyğun çoxhədli funksiya

Hər iki ucu aşağı yönəlmiş, x oxunu −2, −1, 1, 2 nöqtələrində, y oxunu (0; −4) nöqtəsində kəsən qrafikə uyğun funksiyanı seçin.

Uclar. Hər iki uc aşağıdadır ⇒ dərəcə cüt və aₙ < 0. x⁴ − 5x² + 4 (aₙ = 1 > 0) və −x³ + 4x (dərəcə 3, tək) uyğun deyil.
y oxu ilə kəsişmə. f(0) sərbəst həddir. Qrafikdə f(0) = −4, deməli −x⁴ + 5x² + 4 (f(0) = 4) uyğun deyil.
x oxu ilə kəsişmələr. −x⁴ − 5x² − 4‑ün bütün qiymətləri −4‑dən kiçik və ya bərabərdir, sıfırı yoxdur. Qalan −x⁴ + 5x² − 4 üçün: −x⁴ + 5x² − 4 = −(x² − 1)(x² − 4), sıfırlar ±1 və ±2 — qrafikdəki kimi.

Cavab: f(x) = −x⁴ + 5x² − 4

Çoxhədli funksiyanın qrafiki

Qrafikin ucları aşağıdadır (n cüt, aₙ < 0), y oxu ilə kəsişmə (0; −4), x oxu ilə kəsişmələr −2, −1, 1, 2.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

f(1) = −1 + 5 − 4 = 0, f(2) = −16 + 20 − 4 = 0, cüt dərəcəli hədlər olduğu üçün f(−1) = f(1), f(−2) = f(2); f(0) = −4. Hər şey qrafikə uyğundur.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv yanaşma

Yalnız uclara baxmaq

Uclara görə üç variant qalır.

Düzgün

Uclar + f(0) + sıfırlar

Yalnız bir funksiya hər üç yoxlamadan keçir.

Digər cavablar niyə səhvdir

f(x) = x⁴ − 5x² + 4 — Sıfırları da ±1, ±2‑dir, amma baş əmsalı 1 > 0 olduğuna görə hər iki ucu yuxarı yönəlir və f(0) = 4 olur; qrafikdə uclar aşağıdır və y oxu ilə kəsişmə (0; −4)-dür.
f(x) = −x³ + 4x — Tək dərəcəlidir: sol ucu yuxarı, sağ ucu aşağı yönəlir. Üstəlik qrafiki koordinat başlanğıcından keçir (f(0) = 0), şəkildəki qrafik isə yox.
f(x) = −x⁴ + 5x² + 4 — Uclar düzgündür, amma f(0) = 4, f(1) = 8 və f(2) = 8: qrafik y oxunu (0; 4)-də kəsər, 1 və 2 isə sıfır olmaz.
f(x) = −x⁴ − 5x² − 4 — Uclar aşağıdır və f(0) = −4, amma bütün qiymətləri mənfidir (−x⁴ − 5x² − 4 ≤ −4): qrafik x oxunu heç kəsmir.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «Çoxhədli funksiya», səh. 25–28.