Təkrarlanan sıfırı olan çoxhədlinin işarəsi

1 · Əsas fikir

Təkrarlanan sıfırda işarə dəyişmir

Qayda

(x − r)ᵏ vuruğu r sıfırını k dəfə verir. Qrafik cüt sayda təkrarlanan sıfırda x oxuna toxunub dönür (funksiyanın işarəsi dəyişmir), təkrarlanmayan sıfırda isə x oxunu kəsir (işarə dəyişir).

Ən sağ intervalda (bütün sıfırlardan böyük x üçün) işarə baş əmsalın işarəsidir.

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələTəkrarlanan sıfırı olan çoxhədlinin işarəsi

f(x) = (x + 2)(x − 1)²(x − 3) < 0 bərabərsizliyini həll edin.

1. Sıfırlar. x + 2 = 0 ⇒ −2; (x − 1)² = 0 ⇒ 1 (iki dəfə təkrarlanır); x − 3 = 0 ⇒ 3.
2. Ən sağ interval. Dərəcə 4, baş əmsal 1 > 0 ⇒ x > 3 olduqda f(x) > 0.
3. Sağdan sola. x = 3 (bir dəfə) — işarə dəyişir: (1; 3)-də f < 0. x = 1 (iki dəfə) — işarə dəyişmir: (−2; 1)-də də f < 0. x = −2 (bir dəfə) — dəyişir: x < −2 olduqda f > 0.
4. Cavab. f(x) < 0 olan nöqtələr: (−2; 1) ∪ (1; 3). x = 1 daxil deyil, çünki f(1) = 0.

Cavab: (−2; 1) ∪ (1; 3)

f(x) = (x + 2)(x − 1)²(x − 3) funksiyasının işarə diaqramı

İşarələr soldan sağa: +, −, −, +. x = 1‑də (cüt təkrarlanma) işarə dəyişmir.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

Hər intervaldan bir nöqtə: f(−3) = 96 > 0, f(0) = −6 < 0, f(2) = −4 < 0, f(4) = 54 > 0. İşarə x = 1‑in hər iki tərəfində mənfidir.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv yanaşma

+ − + − + (hər sıfırda dəyişir)

Cüt təkrarlanan sıfır nəzərə alınmayıb.

Düzgün

+ − − + (1‑də dəyişmir)

(x − 1)² ≥ 0 işarəni dəyişmir.

Digər cavablar niyə səhvdir

• (−2; 3) — Bu intervala x = 1 də daxildir, amma f(1) = 0 və 0 < 0 doğru deyil. Təkrarlanan sıfır həllər çoxluğundan çıxarılmalıdır.
• (−∞; −2) ∪ (1; 3) — İşarələr hər sıfırda növbələnən kimi götürülüb. (x − 1)² ≥ 0 olduğu üçün x = 1‑də işarə dəyişmir: f(0) = −6 < 0, f(−3) = 96 > 0.
• (−∞; −2) ∪ (3; +∞) — Bu, f(x) > 0 olan çoxluqdur: dördüncü dərəcəli, aₙ = 1 > 0 olduğuna görə uclarda funksiya müsbətdir.
• [−2; 3] — Bu, f(x) ≤ 0 bərabərsizliyinin həllidir: −2, 1 və 3 sıfırları da daxil edilib. Ciddi bərabərsizlikdə sıfırlar götürülmür.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «Çoxhədli funksiya», səh. 25–28.