Ölçüləri 20 sm × 14 sm olan düzbucaqlı kartonun dörd küncündən tərəfi x sm olan kvadratlar kəsilib çıxarılır, qalan hissənin kənarları qatlanaraq qapaqsız qutu düzəldilir. 20 sm × 14 sm ölçülü düzbucaqlı karton; dörd küncündə tərəfi x olan kvadratlar ştrixlənib, qatlama xətləri qırıq xətlə göstərilib; qutunun oturacağı (20 − 2x) × (14 − 2x), hündürlüyü x. x-in hansı tam qiymətində qutunun həcmi 288 sm³ olar?

Qutunun həcmi: çoxhədli model — Sual · 6.7 Çoxhədli funksiya

Mətn

Ölçüləri 20 sm × 14 sm olan düzbucaqlı kartonun dörd küncündən tərəfi x sm olan kvadratlar kəsilib çıxarılır, qalan hissənin kənarları qatlanaraq qapaqsız qutu düzəldilir.

20 sm × 14 sm ölçülü düzbucaqlı karton; dörd küncündə tərəfi x olan kvadratlar ştrixlənib, qatlama xətləri qırıq xətlə göstərilib; qutunun oturacağı (20 − 2x) × (14 − 2x), hündürlüyü x.

x-in hansı tam qiymətində qutunun həcmi 288 sm³ olar?

İzahı göstər

1 · Əsas fikir

Model → tənlik → rasional kök

Qayda

Tətbiq məsələsində əvvəlcə kəmiyyəti x‑in çoxhədlisi kimi yazırıq və şərtdən təyin oblastını tapırıq. Sonra V(x) = c tənliyini standart şəklə gətiririk: tam kök sərbəst həddin bölənidir, tapılan kökə görə sintetik bölmə digər kökləri verir.

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələQutunun həcmi: çoxhədli model

20 sm × 14 sm kartonun künclərindən tərəfi x sm olan kvadratlar kəsilib qapaqsız qutu düzəldilir. x‑in hansı tam qiymətində qutunun həcmi 288 sm³ olar?

Model. Qatlandıqdan sonra oturacaq (20 − 2x) × (14 − 2x), hündürlük x: V(x) = x(20 − 2x)(14 − 2x).
Təyin oblastı. Bütün ölçülər müsbətdir: x > 0 və 14 − 2x > 0 ⇒ 0 < x < 7.
Tənlik. Mötərizələri açaq: V(x) = 4x³ − 68x² + 280x. V(x) = 288 ⇒ 4x³ − 68x² + 280x − 288 = 0, 4‑ə bölək: x³ − 17x² + 70x − 72 = 0.
Rasional kök. Tam kök 72‑nin bölənidir; (0; 7) aralığında 1, 2, 3, 4, 6. x = 4: 64 − 272 + 280 − 72 = 0 ✓.
Digər köklər. Sintetik bölmə 4 | 1 −17 70 −72 → 1 −13 18, qalıq 0. x² − 13x + 18 = 0 ⇒ x = (13 ± √97)/2 ≈ 1,58 və ≈ 11,42 — tam deyil (ikincisi həm də 7‑dən böyükdür).

Cavab: 4

Həcmin tam x qiymətlərində cədvəli

x, sm	1	2	3	4	5	6
V(x), sm³	216	320	336	288	200	96

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

V(4) = 4·12·6 = 288 sm³ ✓. Cədvəldə 288 yalnız x = 4 sütunundadır.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv yanaşma

V(x) = (20 − 2x)(14 − 2x)

Bu, oturacağın sahəsidir; hündürlük x unudulub.

Düzgün

V(x) = x(20 − 2x)(14 − 2x)

Həcm = oturacaq × hündürlük.

Digər cavablar niyə səhvdir

1 — V(1) = 1·18·12 = 216 sm³ ≠ 288.
2 — V(2) = 2·16·10 = 320 sm³ ≠ 288.
3 — V(3) = 3·14·8 = 336 sm³ ≠ 288.
6 — 6 ədədi 72‑nin bölənidir, amma kök deyil: 6³ − 17·6² + 70·6 − 72 = −48 ≠ 0; V(6) = 6·8·2 = 96 sm³.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «Çoxhədli funksiya», səh. 25–28 (tapşırıq 6 modeli).