Normalı və nöqtəsi verilmiş düz xəttin tənliyi

1 · Əsas fikir

Normal vektor və ümumi tənlik

Qayda

Düz xəttə perpendikulyar vektor onun normal vektorudur. Normalı n(a; b) olan və P₀(x₀; y₀) nöqtəsindən keçən düz xəttin istənilən P(x; y) nöqtəsi üçün n · P₀P = 0:

a(x − x₀) + b(y − y₀) = 0 ⇒ ax + by + c = 0

Ümumi tənlikdə x və y‑in əmsalları normalın koordinatlarıdır.

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələNormalı və nöqtəsi verilmiş düz xəttin tənliyi

A(−3; 2) nöqtəsindən keçən və normalı n(2; −5) olan düz xəttin ümumi tənliyini yazın.

1. İxtiyari nöqtə götürürük. P(x; y) düz xətt üzərindədir, onda AP = (x + 3; y − 2) (son minus başlanğıc).
2. Perpendikulyarlıq: n ⊥ AP, yəni n · AP = 0: 2(x + 3) + (−5)(y − 2) = 0.
3. Mötərizələri açırıq: 2x + 6 − 5y + 10 = 0, yəni 2x − 5y + 16 = 0.

Cavab: 2x − 5y + 16 = 0

Normalı və nöqtəsi verilmiş düz xətt

A nöqtəsindən çəkilmiş n(2; −5) normalı düz xəttə perpendikulyardır.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

2‑ci üsul: normala görə tənlik 2x − 5y + c = 0 şəklindədir. A‑nı yazırıq: 2·(−3) − 5·2 + c = 0, c = 16. Eyni tənlik alındı. Əmsallar (2; −5) verilmiş normaldır, A nöqtəsi tənliyi ödəyir.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv yanaşma

2(x − 3) − 5(y + 2) = 0

Nöqtənin koordinatları əks işarə ilə yazılıb: bu xətt (3; −2)-dən keçir.

Düzgün

2(x + 3) − 5(y − 2) = 0

x − x₀ = x − (−3) = x + 3, y − y₀ = y − 2.

Digər cavablar niyə səhvdir

• 2x − 5y − 16 = 0 — Sabit həddin işarəsi səhvdir: A‑nı yazanda −6 − 10 − 16 = −32 ≠ 0. Bu xətt A(−3; 2)-dən yox, (3; −2)-dən keçir.
• 5x + 2y + 11 = 0 — n istiqamət vektoru kimi götürülüb. Bu xəttin normalı (5; 2) n‑ə perpendikulyardır, yəni xətt n boyunca uzanır.
• −3x + 2y + 16 = 0 — Rollar dəyişib: A‑nın koordinatları normal, n‑in koordinatları nöqtə kimi götürülüb.
• 2x − 5y − 4 = 0 — c hesablananda ikinci həddin işarəsi itib: c = −2·(−3) − (−5)·2 = 6 + 10 = 16, 6 − 10 = −4 yox.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «Düz xəttin ümumi tənliyi», səh. 54–55. Dərslikdə vektorun komponentləri bucaqlı mötərizədə yazılır; bu səhifədə adi mötərizə işlədilir.