Nöqtədən düz xəttə qədər məsafə

1 · Əsas fikir

Məsafə perpendikulyar boyunca ölçülür

Qayda

P₀ nöqtəsindən düz xəttə qədər məsafə perpendikulyarın uzunluğudur. Perpendikulyarın oturacağı P olsun: P₀P normalla kollineardır, yəni P₀P = k · n.

P nöqtəsi düz xəttin tənliyini ödəyir — buradan k tapılır, sonra d = |k| · |n|.

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələNöqtədən düz xəttə qədər məsafə

P₀(3; 5) nöqtəsindən l: 5x − 12y + 6 = 0 düz xəttinə qədər məsafəni tapın.

1. Normal: n(5; −12), |n| = √(25 + 144) = 13.
2. Oturacaq: P₀P = k·n, onda P(3 + 5k; 5 − 12k).
3. P düz xətt üzərindədir: 5(3 + 5k) − 12(5 − 12k) + 6 = 0, yəni 15 + 25k − 60 + 144k + 6 = 0, 169k = 39, k = 3/13.
4. Məsafə: d = |k|·|n| = 3/13 · 13 = 3.

Cavab: 3

Nöqtədən düz xəttə qədər məsafə

P₀P perpendikulyarı normal boyunca yönəlib; onun uzunluğu d axtarılan məsafədir.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

P(54/13; 29/13): 5·54/13 − 12·29/13 + 6 = (270 − 348 + 78)/13 = 0 ✓. P₀P = (15/13; −36/13), uzunluğu √(225 + 1296)/13 = 39/13 = 3 ✓. Diqqət: 39 = |5·3 − 12·5 + 6| — P₀‑ı tənliyə yazanda alınan ədədin modulu, 13 isə |n|-dir.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv yanaşma

d = k = 3/13

k tapılıb, amma normalın uzunluğuna vurulmayıb.

Düzgün

d = |k|·|n| = 3

k — normalın neçə dəfə götürüldüyüdür, məsafə deyil.

Digər cavablar niyə səhvdir

• 45/13 — Sabit hədd (+6) unudulub: |15 − 60| = 45. P düz xəttin tam tənliyini ödəməlidir.
• 3/13 — Bu, k‑nın özüdür: məsafə üçün k‑nı |n| = 13‑ə vurmaq lazımdır.
• 81/13 — y‑li həddin işarəsi səhv götürülüb: 15 + 60 + 6 = 81. −12·5 = −60‑dır.
• 39/17 — Normalın uzunluğu |5| + |−12| = 17 kimi hesablanıb. |n| = √(5² + 12²) = 13.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «Düz xəttin ümumi tənliyi», səh. 54–55. Dərslikdə vektorun komponentləri bucaqlı mötərizədə yazılır; bu səhifədə adi mötərizə işlədilir.