Parçanı verilmiş nisbətdə bölən nöqtə

1 · Əsas fikir

Parçanı m : n nisbətində bölmək

Qayda

PR : RQ = m : n nisbətində bölən R nöqtəsi:

R((mx₂ + nx₁)/(m + n); (my₂ + ny₁)/(m + n); (mz₂ + nz₁)/(m + n))

m — P‑dən sayılan hissə, ona görə m ikinci ucun (Q-nün) koordinatına vurulur. m = n = 1 olanda orta nöqtə alınır.

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələParçanı verilmiş nisbətdə bölən nöqtə

A(−1; 2; 4) və B(8; −4; 1). AB parçası üzərindəki P nöqtəsi üçün AP : PB = 2 : 1. P‑nin koordinatlarını tapın.

1. m və n. AP : PB = 2 : 1, yəni m = 2 (A tərəfdən), n = 1. m B‑nin koordinatına vurulur.
2. x. (2 · 8 + 1 · (−1))/3 = 15/3 = 5.
3. y. (2 · (−4) + 1 · 2)/3 = −6/3 = −2.
4. z. (2 · 1 + 1 · 4)/3 = 6/3 = 2. P(5; −2; 2).

Cavab: (5; −2; 2)

AB parçasının 2 : 1 nisbətində bölünməsi

AP : PB = 2 : 1 — P parçanı üç bərabər hissəyə bölən nöqtələrdən B‑yə yaxın olanıdır; M orta nöqtədir.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

AP² = 6² + (−4)² + (−2)² = 56, PB² = 3² + (−2)² + (−1)² = 14. AP² = 4 · PB², deməli AP = 2 · PB.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv yanaşma

(2x_A + x_B)/3

2 əmsalı yanlış uca vurulub — nöqtə A‑ya yaxın düşür.

Düzgün

(x_A + 2x_B)/3

AP böyük hissədirsə, P B‑yə yaxındır.

Digər cavablar niyə səhvdir

• (2; 0; 3) — Nisbət tərsinə tətbiq edilib (AP : PB = 1 : 2) — bu nöqtə A‑ya yaxındır. m = 2 ikinci ucun, B‑nin koordinatına vurulur.
• (3,5; −1; 2,5) — Bu, orta nöqtədir (1 : 1). 2 : 1 nisbətində P B‑yə daha yaxındır.
• (6; −4; −2) — A‑dan P‑yə «addım» — (B − A)-nın 2/3 hissəsi tapılıb, amma A‑nın koordinatlarına əlavə edilməyib.
• (7,5; −3; 3) — x₁ + 2x₂ cəmi 3‑ə yox, 2‑yə bölünüb; məxrəc m + n = 2 + 1 = 3‑dür.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «Fəzada düzbucaqlı koordinat sistemi», səh. 34–41.