y = x² + 3 parabolası və y = x düz xətti; x = 0 ilə x = 2 arasında, parabola ilə düz xətt arasındakı fiqur rənglənib. Parabola düz xəttdən yuxarıdadır, qrafiklər kəsişmir. Şəkildə y = x² + 3 və y = x funksiyalarının qrafikləri, x = 0 və x = 2 düz xətləri ilə hüdudlanmış fiqur rənglənib. Bu fiqurun sahəsini tapın (kv. vahid). y = x^2 + 3,quad y = x,quad x = 0,quad x = 2

Kəsişməyən iki qrafik və iki şaquli xətt — Sual · 6.58 Əyrilərlə hüdudlanmış fiqurun sahəsi

Mətn

y = x² + 3 parabolası və y = x düz xətti; x = 0 ilə x = 2 arasında, parabola ilə düz xətt arasındakı fiqur rənglənib. Parabola düz xəttdən yuxarıdadır, qrafiklər kəsişmir.

Şəkildə y = x² + 3 və y = x funksiyalarının qrafikləri, x = 0 və x = 2 düz xətləri ilə hüdudlanmış fiqur rənglənib. Bu fiqurun sahəsini tapın (kv. vahid).

y = x^2 + 3,\quad y = x,\quad x = 0,\quad x = 2

İzahı göstər

1 · Əsas fikir

Sahə = yuxarı qrafik − aşağı qrafik

Əsas fikir

Fiqur yuxarıdan bir qrafiklə, aşağıdan başqa qrafiklə hüdudlanırsa, onun sahəsi yuxarı qrafikin altındakı sahədən aşağı qrafikin altındakı sahəni çıxmaqla tapılır. [a; b] parçasında kəsilməz f və g funksiyaları üçün f(x) ≥ g(x) olarsa, yəni f-in qrafiki g-nin qrafikindən yuxarıdadırsa, qrafiklər və x = a, x = b düz xətləri ilə hüdudlanmış fiqurun sahəsi:

S = ∫ba [f(x) − g(x)] dx

Qrafiklərin ortaq nöqtəsi yoxdursa, inteqralın sərhədlərini verilmiş şaquli düz xətlər göstərir.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqKəsişməyən iki qrafik və iki şaquli xətt

Şəkildə y = x² + 3 və y = x funksiyalarının qrafikləri, x = 0 və x = 2 düz xətləri ilə hüdudlanmış fiqur rənglənib. Bu fiqurun sahəsini tapın (kv. vahid).

Hansı qrafikin yuxarıda olduğunu yoxlayaq: x² + 3 − x = (x − 0,5)² + 2,75 > 0. Deməli, hər x üçün x² + 3 > x və parabola düz xəttdən yuxarıdadır; qrafiklər kəsişmir.
Sərhədlər verilmiş düz xətlərdir: a = 0, b = 2. Fərq: f(x) − g(x) = x² + 3 − x.
S = ∫20 (x² − x + 3) dx = (x³/3 − x²/2 + 3x)|20 = 8/3 − 2 + 6.
8/3 − 2 + 6 = 8/3 + 12/3 = 20/3.
Cavab: S = 20/3 = 6⅔ kv. vahid

y = x² + 3 və y = x qrafikləri, x = 0 və x = 2 xətləri arasında rənglənmiş fiqur

Fiqur yuxarıdan parabola, aşağıdan düz xətt, yanlardan x = 0 və x = 2 ilə hüdudlanır.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Ayrı-ayrı hesablayaq: parabolanın altındakı sahə ∫20 (x² + 3) dx = 26/3, düz xəttin altındakı üçbucaq ∫20 x dx = 2. Fərq 26/3 − 2 = 20/3 — eyni nəticə. Sahə müsbətdir və 26/3-dən kiçikdir, necə ki olmalıdır.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

32/3Fərq əvəzinə cəm inteqrallanıb: ∫(x² + x + 3)dx = 8/3 + 2 + 6. Aşağıdakı qrafikin altındakı sahə çıxılmalı idi, əlavə olunmamalı idi.
26/3Yalnız yuxarı qrafikin altındakı sahədir: ∫(x² + 3)dx = 8/3 + 6. Bu ədədə y = x düz xəttinin altında qalan, fiqura daxil olmayan üçbucaq da daxildir.
11/3Sabit 3-ün ibtidai funksiyası 3x əvəzinə 3 götürülüb: 8/3 − 2 + 3. Sabitin inteqralı c(b − a)-dır, yəni 3 · 2 = 6.
2Bu, yalnız y = x düz xəttinin altında qalan üçbucağın sahəsidir (2 · 2 : 2). Fiqur bu üçbucaqdan yuxarıdadır.