Qrafiklər yer dəyişəndə sahənin düsturu

1 · Əsas fikir

Sahə = yuxarı qrafik − aşağı qrafik

Əsas fikir

Hər parçada sahə «yuxarı qrafik − aşağı qrafik» fərqinin inteqralıdır. Qrafiklər parçanın daxilində kəsişirsə, kəsişmə nöqtələrində parçanı hissələrə bölürük, hər hissədə yuxarı qrafiki ayrıca müəyyən edir və sahələri toplayırıq.

S = ∫ba [g(x) − f(x)] dx+ ∫cb [f(x) − g(x)] dx

Dərslikdə bu hal «funksiyaların qrafiklərinin ikidən çox sayda kəsişmə nöqtəsi var» başlığı ilə, Nümunə 3-də göstərilir.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqQrafiklər yer dəyişəndə sahənin düsturu

Şəkildə y = f(x) və y = g(x) funksiyalarının qrafikləri, x = a və x = c düz xətləri ilə hüdudlanmış fiqur rənglənib. Qrafiklər absisi b olan nöqtədə kəsişir. Fiqurun sahəsi hansı düsturla hesablanır? (∫[p; q] yazılışı p-dən q-yə qədər müəyyən inteqral deməkdir.)

1. Şəkli oxuyaq: a-dan b-yə qədər g-nin qrafiki yuxarıdadır, deməli bu hissədə g(x) − f(x) ≥ 0.
2. b nöqtəsində qrafiklər kəsişir; b-dən c-yə qədər f-in qrafiki yuxarıdadır, f(x) − g(x) ≥ 0.
3. Hər hissədə «yuxarı − aşağı» inteqrallanır: S₁ = ∫ba (g(x) − f(x)) dx, S₂ = ∫cb (f(x) − g(x)) dx.
4. Ümumi sahə hissələrin cəmidir: S = S₁ + S₂.
5. Cavab: S = ∫[a; b] (g(x) − f(x)) dx + ∫[b; c] (f(x) − g(x)) dx

y = f(x) və y = g(x) qrafikləri x = b nöqtəsində kəsişir; x = a və x = c arasında rənglənmiş fiqur

Mavi hissədə g yuxarıda, narıncı hissədə f yuxarıdadır; parça b nöqtəsində bölünür.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Hər iki inteqralın altındakı funksiya öz parçasında mənfi deyil, ona görə hər toplanan müsbətdir — sahə belə də olmalıdır. Eyni sahəni ∫ca |f(x) − g(x)| dx kimi də yazmaq olar: modul hər hissədə fərqi «yuxarı − aşağı» edir.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• ∫[a; c] (f(x) − g(x)) dxBütün [a; c] parçasında f-in yuxarıda olduğu fərz edilib. [a; b] hissəsində f − g < 0 olduğundan bu hissə sahəyə mənfi işarə ilə daxil olur və iki hissə bir-birini qismən «yeyir».
• ∫[a; c] (g(x) − f(x)) dxBu dəfə bütün parçada g yuxarıda sayılıb; indi [b; c] hissəsi mənfi işarə ilə daxil olur.
• ∫[a; b] (f(x) − g(x)) dx + ∫[b; c] (g(x) − f(x)) dxHər iki hissədə yuxarı və aşağı qrafik qarışdırılıb: hər inteqral mənfi alınır, cəm sahənin əks işarəlisidir.
• ∫[a; b] g(x) dx + ∫[b; c] f(x) dxBunlar qrafiklərin altındakı, absis oxuna qədər olan sahələrdir. Aşağıdakı qrafikin altında qalan zolaq çıxılmayıb.