Kök funksiyası ilə düz xətt

1 · Əsas fikir

Sahə = yuxarı qrafik − aşağı qrafik

Əsas fikir

Fiqur kəsişmə nöqtələri arasında yerləşir; sahə «yuxarı − aşağı» fərqinin inteqralıdır:

S = ∫ba [f(x) − g(x)] dx

Kök funksiyasının ibtidaisi qüvvət qaydası ilə tapılır: √x = x^(1/2), ∫√x dx = (2/3)x√x + C.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqKök funksiyası ilə düz xətt

y = 2√x və y = x funksiyalarının qrafikləri ilə hüdudlanmış fiqurun sahəsini tapın (kv. vahid).

1. Kəsişmə: 2√x = x. Hər iki tərəfi kvadrata yüksəldək: 4x = x², x(x − 4) = 0, x = 0 və x = 4. Yoxlama: 2√4 = 4 — hər iki kök uyğundur.
2. Yuxarı qrafik: x = 1-də 2√1 = 2 > 1. Deməli, [0; 4] parçasında y = 2√x yuxarıdadır.
3. S = ∫40 (2√x − x) dx = ((4/3)x√x − x²/2)|40 = (4/3) · 8 − 8.
4. 32/3 − 8 = 32/3 − 24/3 = 8/3.
5. Cavab: S = 8/3 = 2⅔ kv. vahid

y = 2√x və y = x qrafikləri arasındakı fiqur

Qrafiklər O(0; 0) və (4; 4) nöqtələrində kəsişir; aralarında kök funksiyasının qrafiki yuxarıdadır.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Ayrı-ayrı: ∫40 2√x dx = 32/3 ≈ 10,67, ∫40 x dx = 8. Fərq ≈ 2,67 = 8/3. Kvadrata yüksəldərkən yad kök yarana bilərdi, ona görə hər iki kök ilkin tənlikdə yoxlanıb.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 32/3Bu, yalnız y = 2√x qrafikinin [0; 4] parçasında altında qalan sahədir; düz xəttin altındakı üçbucaq çıxılmayıb.
• 8Bu, düz xəttin altındakı üçbucağın sahəsidir (4 · 4 : 2) — fiqurun özü deyil.
• 56/3İnteqrallar çıxılmaq əvəzinə toplanıb: 32/3 + 8.
• (8√2 − 6)/3Kəsişmə nöqtəsi səhv tapılıb: 2√x = x tənliyindən x = 2 götürülüb (2√2 ≠ 2). Düzgün kök x = 4-dür.