Sinusoid və kosinusoid arasındakı fiqur

1 · Əsas fikir

Sahə = yuxarı qrafik − aşağı qrafik

Əsas fikir

Triqonometrik funksiyaların qrafikləri arasındakı fiqur üçün də qayda eynidir: kəsişmə nöqtələri sərhədlərdir, sahə «yuxarı − aşağı» fərqinin inteqralıdır.

S = ∫ba [f(x) − g(x)] dx

Lazım olan ibtidailər: ∫sin x dx = −cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqSinusoid və kosinusoid arasındakı fiqur

[0; 2π] parçasında y = sin x və y = cos x funksiyalarının qrafikləri iki nöqtədə kəsişir. Bu iki kəsişmə nöqtəsi arasında qrafiklərlə hüdudlanmış fiqurun sahəsini tapın (kv. vahid).

1. Kəsişmə: sin x = cos x. cos x = 0 olan nöqtələrdə sin x = ±1 ≠ 0, ona görə tənliyi cos x-ə bölmək olar: tg x = 1, x = π/4 + πn. [0; 2π] parçasında x = π/4 və x = 5π/4.
2. Yuxarı qrafik: x = π/2-də sin x = 1, cos x = 0. Deməli, [π/4; 5π/4] parçasında y = sin x yuxarıdadır.
3. S = ∫5π/4π/4 (sin x − cos x) dx = (−cos x − sin x)|5π/4π/4.
4. x = 5π/4-də: −(−√2/2) − (−√2/2) = √2; x = π/4-də: −√2/2 − √2/2 = −√2.
5. S = √2 − (−√2) = 2√2 ≈ 2,83.
6. Cavab: S = 2√2 ≈ 2,83 kv. vahid

y = sin x və y = cos x arasında π/4-dən 5π/4-ə qədər fiqur

Sinusoid (mavi) və kosinusoid (qırmızı) π/4 və 5π/4 nöqtələrində kəsişir; aralarında sinusoid yuxarıdadır.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Ayrı-ayrı: ∫5π/4π/4 sin x dx = √2, ∫5π/4π/4 cos x dx = −√2. Fərq √2 − (−√2) = 2√2. Qiymətləndirmə: fiqurun eni π ≈ 3,14, ən böyük hündürlüyü √2 ≈ 1,41 (x = 3π/4-də); sahə 2,83 bu ölçülərə uyğundur.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• √2İbtidai funksiyanın yalnız yuxarı sərhəddəki qiyməti götürülüb: −cos(5π/4) − sin(5π/4) = √2. Aşağı sərhəddəki qiymət (−√2) çıxılmayıb.
• 2Bu, sinusoidin bir «tağının» ([0; π]) absis oxu ilə hüdudladığı sahədir, iki qrafik arasındakı fiqur deyil.
• 4√2[0; π/4] və [5π/4; 2π] hissələri də əlavə olunub. Onlar iki qrafikin kəsişmə nöqtələri arasında deyil və yalnız x = 0, x = 2π xətləri ilə qapanır — bu xətlər şərtdə yoxdur.
• 0sin x-in ibtidaisi −cos x əvəzinə cos x yazılıb: (cos x − sin x) ifadəsinin sərhədlərdəki qiymətləri bərabər alınır və fərq 0 olur.