Xəyali vahidin qüvvətləri

1 · Əsas fikir

i‑nin qüvvətləri dörd addımdan bir təkrarlanır

Qayda

i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1. i⁴ = 1 olduğuna görə üstü 4-ə bölüb yalnız qalığa baxmaq kifayətdir:

i4m+k = (i⁴)m·ik = ik

Xəyali vahidin qüvvətləri dövrü

Hər addımda i‑yə vururuq: i → −1 → −i → 1 → i … Üstü 4-ə böləndə qalıq qüvvətin qiymətini göstərir: qalıq 1 ⇒ i, qalıq 2 ⇒ −1, qalıq 3 ⇒ −i, qalıq 0 ⇒ 1.

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələXəyali vahidin qüvvətləri

i⁷⁵ + i⁸⁶ + i⁹⁷ ifadəsinin qiymətini tapın.

1. i⁷⁵. 75 = 4·18 + 3, qalıq 3 ⇒ i⁷⁵ = i³ = −i.
2. i⁸⁶. 86 = 4·21 + 2, qalıq 2 ⇒ i⁸⁶ = i² = −1.
3. i⁹⁷. 97 = 4·24 + 1, qalıq 1 ⇒ i⁹⁷ = i.
4. Toplayırıq. −i + (−1) + i = −1 (i və −i bir-birini yox edir).

Cavab: −1

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

i⁷⁵·i = i⁷⁶ = (i⁴)¹⁹ = 1. Hasili 1 olan ədəd −i‑dir, çünki i·(−i) = −i² = 1. Deməli i⁷⁵ = −i düzgündür və cəm −1 qalır.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv yanaşma

i⁸⁶ = 1

Cüt üst həmişə 1 vermir: 86-nın 4-ə bölünməsindən qalıq 2-dir.

Düzgün

i⁸⁶ = i² = −1

Qüvvəti qalıq müəyyən edir: qalıq 2 ⇒ −1.

Digər cavablar niyə səhvdir

• 1 — i⁸⁶ ədədi 1 kimi götürülüb. 86-nı 4-ə böləndə qalıq 2-dir, ona görə i⁸⁶ = i² = −1.
• 0 — Ardıcıl dörd qüvvətin cəmi 0-dır (iᵏ + iᵏ⁺¹ + iᵏ⁺² + iᵏ⁺³ = 0), amma burada üç hədd var və onlar ardıcıl deyil; bu qaydanı tətbiq etmək olmaz.
• −1 + 2i — i⁷⁵ ədədi i kimi götürülüb. 75-i 4-ə böləndə qalıq 3-dür, i³ = −i.
• −1 − 2i — i⁹⁷ ədədi −i kimi götürülüb. 97-ni 4-ə böləndə qalıq 1-dir, i¹ = i.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11-ci sinif» (Elm və Təhsil Nazirliyi), «Kompleks ədədlər haqqında» və «Kompleks ədədlər», səh. 17–20.