Kvadrat tənliyin kompleks kökləri

1 · Əsas fikir

D < 0 olanda köklər kompleksdir

Qayda

Kompleks ədədlər çoxluğunda kvadrat tənliyin kökləri eyni düsturla tapılır:

x = −b ± √D2a, D = b² − 4ac

D mənfi olduqda √D = √(|D|·i²) = √|D|·i yazırıq. Əmsallar həqiqi olduqda köklər qarşılıqlı qoşma alınır.

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələKvadrat tənliyin kompleks kökləri

x² − 6x + 34 = 0 tənliyinin kompleks köklərini tapın.

1. Diskriminant. D = (−6)² − 4·1·34 = 36 − 136 = −100.
2. Kök. √−100 = √(100·i²) = 10i.
3. Düstur. x = 6 ± 10i2 — həm 6-nı, həm də 10i-ni 2-yə bölürük.
4. Köklər. x₁ = 3 + 5i, x₂ = 3 − 5i.

Cavab: 3 + 5i; 3 − 5i

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

Viyet düsturları kompleks köklər üçün də doğrudur: x₁ + x₂ = 6 = −b, x₁·x₂ = (3 + 5i)(3 − 5i) = 9 + 25 = 34 = c. Köklər qoşmadır.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv yanaşma

D = 100 ⇒ 8; −2

Diskriminantda işarə səhvi: 36 − 136 mənfidir. 8 tənliyi ödəmir: 64 − 48 + 34 = 50.

Düzgün

D = −100 ⇒ 3 ± 5i

Mənfi diskriminantdan xəyali vahid yaranır: √−100 = 10i.

Digər cavablar niyə səhvdir

• −3 + 5i; −3 − 5i — Düsturda −b əvəzinə b götürülüb: x = (−6 ± 10i)/2. b = −6 olduğundan −b = 6-dır.
• 8; −2 — Diskriminant 136 − 36 = 100 kimi hesablanıb (işarə səhvi). Əslində D = 36 − 136 = −100 < 0 və həqiqi kök yoxdur; yoxlama: 8² − 6·8 + 34 = 50 ≠ 0.
• 3 + 10i; 3 − 10i — Kəsrin yalnız həqiqi hissəsi 2-yə bölünüb, 10i isə bölünməyib.
• 6 + 10i; 6 − 10i — Düsturdakı 2a = 2 məxrəcinə ümumiyyətlə bölünməyib.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11-ci sinif» (Elm və Təhsil Nazirliyi), «Kompleks ədədlər haqqında» və «Kompleks ədədlər», səh. 17–20.