Şəkildə y = f(x) funksiyasının qrafiki verilmişdir. [1; 4] parçasında qrafik absis oxundan aşağıda yerləşir. Qrafik və absis oxu arasındakı rənglənmiş fiqurun sahəsi 4,5 kv. vahiddir. y = f(x) qrafiki və [1; 4] parçasında oxdan aşağıdakı fiqur. Parabolaya oxşar qrafik absis oxunu x = 1 və x = 4 nöqtələrində kəsir və bu nöqtələr arasında oxdan aşağıda yerləşir. Qrafik və ox arasındakı fiqur rənglənib, yanında S = 4,5 yazılıb. Müəyyən inteqralın qiymətini tapın. int_{1}^{4} f(x) dx

Oxdan aşağıdakı fiqur və inteqralın işarəsi — Sual · 6.55 Müəyyən inteqral və sahə

Mətn

Şəkildə y = f(x) funksiyasının qrafiki verilmişdir. [1; 4] parçasında qrafik absis oxundan aşağıda yerləşir. Qrafik və absis oxu arasındakı rənglənmiş fiqurun sahəsi 4,5 kv. vahiddir.

y = f(x) qrafiki və [1; 4] parçasında oxdan aşağıdakı fiqur. Parabolaya oxşar qrafik absis oxunu x = 1 və x = 4 nöqtələrində kəsir və bu nöqtələr arasında oxdan aşağıda yerləşir. Qrafik və ox arasındakı fiqur rənglənib, yanında S = 4,5 yazılıb.

Müəyyən inteqralın qiymətini tapın.

\int_{1}^{4} f(x)\,dx

İzahı göstər

Oxdan aşağıdakı fiqur və inteqralın işarəsi

Müəyyən inteqral və sahə · tam həll və yoxlama

1 · Əsas fikir

İnteqral işarəli sahədir

Yadda saxla

Müəyyən inteqral inteqral cəmlərinin limitidir: hər həd f(xi)·Δx şəklindədir və Δx > 0. Qrafik oxdan aşağıda olanda f(xi) ≤ 0, ona görə hər həd, cəm və limit də mənfi olur. Sahə isə mənfi ola bilməz: belə fiqurun sahəsi inteqralın moduludur.

f(x) ≤ 0 ⇒ S = |∫baf(x)dx| = −∫baf(x)dx

y = f(x) qrafiki və [1; 4] parçasında oxdan aşağıdakı fiqur

[1; 4] parçasında qrafik oxdan aşağıdadır: düzbucaqlıların «hündürlükləri» f(xi) mənfidir.

2 · Həll

Addım-addım

TapşırıqOxdan aşağıdakı fiqur və inteqralın işarəsi

Qrafik [1; 4] parçasında absis oxundan aşağıdadır və fiqurun sahəsi 4,5-dir. ∫41f(x)dx nəyə bərabərdir?

İnteqralı inteqral cəmi ilə düşünək: ∫41f(x)dx ≈ f(x1)Δx + … + f(xn)Δx, burada Δx = 4 − 1n / > 0.
[1; 4] parçasında qrafik oxdan aşağıdadır, yəni hər f(xi) ≤ 0. Deməli, hər həd f(xi)Δx ≤ 0 və cəm mənfidir.
Hədlərin modulları fiqurun içinə çəkilmiş düzbucaqlıların sahələridir; n böyüdükcə onların cəmi fiqurun sahəsinə, 4,5-ə yaxınlaşır.
İşarə mənfi, modul 4,5 olduğundan ∫41f(x)dx = −4,5. ∫41f(x)dx = −4,5

Yoxlama: cavab mənfidir — qrafik oxdan aşağıda olduğu üçün belə də olmalıdır; modulu |−4,5| = 4,5 verilmiş sahəyə bərabərdir (S = |∫|).

3 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

Səhv

4,5

Sahə ilə inteqral eyniləşdirilib — oxdan aşağıda inteqral mənfidir.

Düzgün

−4,5

İşarə qrafikin oxa nəzərən yerindən, modul sahədən gəlir.

«4,5» — Bu, fiqurun sahəsidir. Qrafik oxdan aşağıda olduğu üçün inteqralın hədləri mənfidir, inteqral sahəyə yox, onun əksinə bərabərdir.
«0» — f(1) = f(4) = 0 olması yalnız qrafikin uc nöqtələrdə oxu kəsdiyini göstərir. Aradakı bütün qiymətlər mənfidir, ona görə inteqral sıfır deyil.
«−3» — Bu, parçanın uzunluğudur (4 − 1 = 3), mənfi işarə ilə. İnteqral parçanın uzunluğunu yox, qrafik və ox arasındakı fiqurun işarəli sahəsini ölçür.
«13,5» — Sahə parçanın uzunluğuna vurulub (4,5 · 3). Sahə artıq «hündürlük × en» hədlərinin cəmidir, onu yenidən enə vurmaq lazım deyil; üstəlik işarə də itib.

Mənbə: Riyaziyyat 11-ci sinif dərsliyi, «Müəyyən inteqral və sahə» və «Müəyyən inteqralın xassələri» bölmələri.