Sahələrdən inteqrala

Sahələrdən inteqrala

Müəyyən inteqral və sahə · tam həll və yoxlama

1 · Əsas fikir

İnteqral işarəli sahədir

Yadda saxla

İnteqral cəmini hissələrə ayırmaq olar: [−2; 4] parçasının hər kiçik hissəsi ya [−2; 0], ya [0; 3], ya da [3; 4] parçasına düşür. Ona görə bütün parça üzrə inteqral hissələr üzrə inteqralların cəmidir, hər hissə isə öz sahəsinə işarəsi ilə bərabərdir: oxdan yuxarıda +S, aşağıda −S.

∫4−2f dx = ∫0−2f dx + ∫30f dx + ∫43f dx

y = f(x) qrafiki [−2; 4] parçasında üç fiqur əmələ gətirir

S₁ və S₃ oxdan yuxarıdadır (+), S₂ oxdan aşağıdadır (−).

2 · Həll

Addım-addım

TapşırıqSahələrdən inteqrala

S₁ = 5, S₂ = 8, S₃ = 2 olarsa, ∫4−2f(x)dx nəyə bərabərdir?

1. Qrafikə baxırıq: [−2; 0] parçasında qrafik oxdan yuxarıdadır (S₁), [0; 3] parçasında aşağıdadır (S₂), [3; 4] parçasında yenə yuxarıdadır (S₃).
2. Hər hissənin inteqralı: ∫0−2f dx = +5, ∫30f dx = −8, ∫43f dx = +2.
3. Toplayırıq: ∫4−2f(x)dx = 5 − 8 + 2 = −1. ∫4−2f(x)dx = −1

Yoxlama: oxdan yuxarıdakı sahələrin cəmi 5 + 2 = 7, aşağıdakı 8. Aşağıdakı bir az böyük olduğu üçün inteqral kiçik mənfi ədəd olmalıdır: 7 − 8 = −1. Fiqurun ümumi sahəsi isə 15-dir.

3 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

Səhv

15

5 + 8 + 2 — bu, fiqurların ümumi sahəsidir.

Düzgün

−1

5 − 8 + 2: oxdan aşağıdakı S₂ çıxılır.

• «15» — Bu, üç fiqurun ümumi sahəsidir (5 + 8 + 2). İnteqralda oxdan aşağıdakı S₂ mənfi işarə ilə daxil olur.
• «1» — İşarələr tərsinə götürülüb: −5 + 8 − 2. Oxdan yuxarıdakı S₁ və S₃ müsbət, aşağıdakı S₂ mənfi olmalıdır.
• «11» — Mənfi işarə səhv fiqura verilib: 5 + 8 − 2. Oxdan aşağıda yerləşən S₃ yox, S₂-dir.
• «−11» — S₁ də oxdan aşağıda sayılıb: −5 − 8 + 2. Qrafik [−2; 0] parçasında oxdan yuxarıdadır.

Mənbə: Riyaziyyat 11-ci sinif dərsliyi, «Müəyyən inteqral və sahə» və «Müəyyən inteqralın xassələri» bölmələri.