Modullu funksiyanın inteqralı sahələrlə

Modullu funksiyanın inteqralı sahələrlə

Müəyyən inteqral və sahə · tam həll və yoxlama

1 · Əsas fikir

İnteqral işarəli sahədir

Yadda saxla

y = |x − m| + k qrafiki təpəsi (m; k) nöqtəsində olan «bucaqdır»: y = |x| qrafiki m vahid sağa və k vahid yuxarı köçürülür. Qrafik düz parçalardan ibarət olduğu üçün inteqralı üçbucaqların işarəli sahələri ilə tapmaq olar.

∫baf dx = Syuxarı − Saşağı

y = |x − 1| − 2 qrafiki [−1; 4] parçasında

Təpə (1; −2). Böyük üçbucaq oxdan aşağıda (sahəsi 4), kiçik üçbucaq oxdan yuxarıda (sahəsi 0,5).

2 · Həll

Addım-addım

TapşırıqModullu funksiyanın inteqralı sahələrlə

∫4−1(|x − 1| − 2)dx inteqralını hesablayın.

1. Qrafik: təpəsi (1; −2) olan bucaq. Oxu kəsdiyi nöqtələr: |x − 1| = 2 ⇒ x = −1 və ya x = 3.
2. [−1; 3] parçasında qrafik oxdan aşağıdadır: oturacağı 3 − (−1) = 4, hündürlüyü 2 olan üçbucaq. Sahəsi 12 / ·4·2 = 4; inteqrala −4 kimi daxil olur.
3. [3; 4] parçasında qrafik oxdan yuxarıdadır: f(3) = 0, f(4) = |3| − 2 = 1. Katetləri 1 və 1 olan üçbucaq, sahəsi 12 / ·1·1 = 0,5; +0,5.
4. ∫4−1(|x − 1| − 2)dx = −4 + 0,5 = −3,5. ∫4−1(|x − 1| − 2)dx = −3,5

Yoxlama: aşağıdakı üçbucaq (4) yuxarıdakından (0,5) çox böyükdür, inteqral mənfi olmalıdır. Fiqurun ümumi sahəsi 4,5, inteqralın modulu 3,5 — sahədən kiçikdir, belə də olmalıdır.

3 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

Səhv

4,5

4 + 0,5 — bu, fiqurun sahəsidir.

Düzgün

−3,5

−4 + 0,5 — aşağıdakı üçbucaq mənfi daxil olur.

• «4,5» — Bu, iki üçbucağın sahələrinin cəmidir, yəni fiqurun sahəsidir. Oxdan aşağıdakı üçbucaq inteqrala mənfi işarə ilə daxil olur.
• «3,5» — Modul düzgündür, işarə səhvdir: böyük üçbucaq oxdan aşağıda olduğu üçün inteqral mənfidir.
• «−4,5» — Kiçik üçbucaq da mənfi götürülüb. [3; 4] parçasında f(x) = x − 3 ≥ 0, qrafik oxdan yuxarıdadır.
• «−4» — [3; 4] parçası unudulub: inteqral −1-dən 4-ə qədərdir, qrafik isə oxu x = 3-də kəsir.

Mənbə: Riyaziyyat 11-ci sinif dərsliyi, «Müəyyən inteqral və sahə» və «Müəyyən inteqralın xassələri» bölmələri.