Parçanın orta nöqtəsindən keçən perpendikulyar müstəvi

1 · Əsas fikir

Parçaya perpendikulyar müstəvi

Qayda

Parçaya perpendikulyar müstəvinin normalı kimi parçanın öz vektoru götürülə bilər: n = MN. «Orta nöqtəsindən keçir» şərti müstəvinin nöqtəsini verir:

K((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2; (z₁ + z₂)/2)

Sonra «nöqtə + normal» qaydası ilə tənlik yazılır.

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələParçanın orta nöqtəsindən keçən perpendikulyar müstəvi

M(3; −1; 2) və N(1; 3; 6) verilib. MN parçasının orta nöqtəsindən keçən və bu parçaya perpendikulyar müstəvinin tənliyini tapın.

1. Orta nöqtə: K((3 + 1)/2; (−1 + 3)/2; (2 + 6)/2) = K(2; 1; 4).
2. Normal: müstəvi MN‑ə perpendikulyardır, ona görə n = MN = (1 − 3; 3 − (−1); 6 − 2) = (−2; 4; 4). Onu −2‑yə bölüb sadə normal alırıq: (1; −2; −2).
3. Nöqtə + normal: 1·(x − 2) − 2(y − 1) − 2(z − 4) = 0.
4. Sadələşdiririk: x − 2 − 2y + 2 − 2z + 8 = 0, yəni x − 2y − 2z + 8 = 0.

Cavab: x − 2y − 2z + 8 = 0

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

K(2; 1; 4): 2 − 2·1 − 2·4 + 8 = 0 ✓. Əmsallar (1; −2; −2) MN(−2; 4; 4) vektoruna kollineardır (−2 dəfə). Əlavə yoxlama: müstəvinin (−8; 0; 0) nöqtəsindən M‑ə və N‑ə məsafələrin kvadratı eynidir: 11² + 1² + 2² = 126 və 9² + 3² + 6² = 126.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv yanaşma

x − 2y − 2z − 1 = 0

Normal düzgündür, amma nöqtə kimi M götürülüb, orta nöqtə yox.

Düzgün

K(2; 1; 4), n(1; −2; −2)

Əvvəl orta nöqtəni tap, normalı MN‑dən götür.

Digər cavablar niyə səhvdir

• x − 2y − 2z − 1 = 0 — Normal düzgündür, amma müstəvi orta nöqtədən yox, M(3; −1; 2) nöqtəsindən keçirilib: 3 + 2 − 4 − 1 = 0.
• x − 2y − 2z + 17 = 0 — Normal düzgündür, amma müstəvi N(1; 3; 6) nöqtəsindən keçirilib. Orta nöqtə (2; 1; 4) bu tənliyi ödəmir: 2 − 2 − 8 + 17 = 9 ≠ 0.
• x − 2y − 2z − 8 = 0 — d‑nin işarəsi səhvdir: orta nöqtə üçün 2 − 2 − 8 + d = 0 ⇒ d = 8.
• 2x + y + 4z − 21 = 0 — Normal kimi M və N‑in koordinatlarının cəmi (4; 2; 8) götürülüb. Normal parçanın vektoru MN = N − M olmalıdır.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «Müstəvinin tənliyi», səh. 56–60. Dərslikdə vektorun komponentləri bucaqlı mötərizədə yazılır; bu səhifədə adi mötərizə işlədilir.