Üç nöqtədən keçən müstəvinin tənliyi

1 · Əsas fikir

Üç nöqtədən keçən müstəvi

Qayda

Kollinear olmayan üç nöqtə bir müstəvi təyin edir. Normal n(a; b; c) müstəvi üzərindəki hər vektora, o cümlədən AB və AC‑yə perpendikulyardır:

n · AB = 0, n · AC = 0

Bu iki tənlikdən a : b : c nisbəti tapılır, d isə nöqtələrdən birini yerinə yazmaqla. Cavabı üç nöqtənin hamısı ilə yoxlayırıq.

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələÜç nöqtədən keçən müstəvinin tənliyi

A(2; 0; 1), B(0; 1; 3) və C(1; 2; 0) nöqtələrindən keçən müstəvinin tənliyini tapın.

1. Müstəvidəki iki vektor: AB = (0 − 2; 1 − 0; 3 − 1) = (−2; 1; 2), AC = (1 − 2; 2 − 0; 0 − 1) = (−1; 2; −1).
2. Normalın şərtləri: n(a; b; c) hər ikisinə perpendikulyardır: −2a + b + 2c = 0 və −a + 2b − c = 0.
3. Sistemi həll edirik: ikinci tənlikdən c = −a + 2b. Birinciyə qoyuruq: −2a + b + 2(−a + 2b) = 0 ⇒ −4a + 5b = 0 ⇒ 5b = 4a. a = 5 götürsək, b = 4, c = −5 + 8 = 3. Normal: (5; 4; 3).
4. d‑ni tapırıq: 5x + 4y + 3z + d = 0, A(2; 0; 1): 10 + 0 + 3 + d = 0 ⇒ d = −13.
5. Tənlik: 5x + 4y + 3z − 13 = 0.

Cavab: 5x + 4y + 3z − 13 = 0

Üç nöqtə ilə yoxlama

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

Cədvəldə hər üç nöqtə tənliyi ödəyir. Normal da şərtləri ödəyir: (5; 4; 3)·AB = −10 + 4 + 6 = 0, (5; 4; 3)·AC = −5 + 8 − 3 = 0.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv yanaşma

4x + 5y + 3z − 14 = 0

B və C ilə yoxlanıb, A unudulub — iki nöqtədən sonsuz sayda müstəvi keçir.

Düzgün

A, B, C — üçü də

Variantı hər üç nöqtə ilə yoxla.

Digər cavablar niyə səhvdir

• 5x + 4y + 3z + 13 = 0 — Normal düzgündür, amma d‑nin işarəsi səhvdir: A üçün 10 + 0 + 3 + d = 0 ⇒ d = −13. Bu müstəvi üç nöqtənin heç birindən keçmir.
• 4x + 5y + 3z − 14 = 0 — Normalın ilk iki komponenti yerini dəyişib. Bu müstəvi B və C‑dən keçir, amma A‑dan keçmir: 8 + 0 + 3 − 14 = −3 ≠ 0 — yalnız iki nöqtə ilə yoxlamaq kifayət deyil.
• 5x − 4y + 3z − 13 = 0 — Normalın ikinci komponentində işarə səhvi: (5; −4; 3)·AB = −10 − 4 + 6 = −8 ≠ 0. Müstəvi yalnız A‑dan keçir.
• 2x + 2y + z − 5 = 0 — Normal yalnız AB‑yə perpendikulyar götürülüb ((2; 2; 1)·AB = 0), AC şərti unudulub: (2; 2; 1)·AC = 1 ≠ 0. Müstəvi A və B‑dən keçir, C‑dən yox.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «Müstəvinin tənliyi», səh. 56–60; «Ümumiləşdirici tapşırıqlar», səh. 303. Dərslikdə vektorun komponentləri bucaqlı mötərizədə yazılır; bu səhifədə adi mötərizə işlədilir.