Perpendikulyarın oturacağının koordinatları

1 · Əsas fikir

Perpendikulyarın oturacağı

Qayda

Q(x₀; y₀; z₀) nöqtəsindən müstəviyə çəkilmiş perpendikulyarın oturacağı N olsun. QN normal n(a; b; c) ilə kollineardır:

QN = k · n, N(x₀ + ka; y₀ + kb; z₀ + kc)

N müstəvi üzərində olduğu üçün onun koordinatları tənliyi ödəyir — buradan k tapılır. Məsafə |QN| = |k| · |n|.

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələPerpendikulyarın oturacağının koordinatları

Q(4; −3; 5) nöqtəsindən α: x − 2y + 2z − 2 = 0 müstəvisinə çəkilmiş perpendikulyarın oturacağını tapın.

1. Normal: n(1; −2; 2).
2. N‑i k ilə yazırıq: QN = k·n, ona görə N(4 + k; −3 − 2k; 5 + 2k).
3. N müstəvidədir: (4 + k) − 2(−3 − 2k) + 2(5 + 2k) − 2 = 0 ⇒ 4 + k + 6 + 4k + 10 + 4k − 2 = 0 ⇒ 18 + 9k = 0 ⇒ k = −2.
4. Koordinatlar: N(4 − 2; −3 + 4; 5 − 4) = N(2; 1; 1).

Cavab: (2; 1; 1)

Nöqtədən müstəviyə çəkilmiş perpendikulyar

Perpendikulyarın oturacağı N(2; 1; 1): QN = −2·n və QN = 2·3 = 6.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

İki şərti ayrıca yoxlayırıq. 1) N müstəvidədir: 2 − 2·1 + 2·1 − 2 = 0 ✓. 2) QN = (2 − 4; 1 + 3; 1 − 5) = (−2; 4; −4) = −2·n — normala kollineardır ✓. Əlavə olaraq məsafə |QN| = |k|·|n| = 2·3 = 6.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv yanaşma

(4; 1; 0)

Nöqtə müstəvidədir, amma QN normal boyunca deyil.

Düzgün

N müstəvidə və QN ∥ n

Oturacaq hər iki şərti ödəməlidir.

Digər cavablar niyə səhvdir

• (6; −7; 9) — k‑nın işarəsi səhvdir: 18 + 9k = 0 ⇒ k = −2, +2 yox. Bu addım Q‑nu müstəviyə yaxınlaşdırmır, əksinə ondan uzaqlaşdırır; nöqtə müstəvidə deyil (6 + 14 + 18 − 2 = 36).
• (0; 5; −3) — Q‑dan 2k = −4 addım atılıb: bu, oturacaqdan o biri tərəfə eyni məsafədə olan nöqtədir, müstəvidə deyil (0 − 10 − 6 − 2 = −18).
• (−2; 9; −7) — k = −18/3 = −6 götürülüb: 9k‑dakı 9 = |n|² yerinə |n| = 3‑ə bölünüb. Nöqtə müstəvidə deyil.
• (4; 1; 0) — Bu nöqtə müstəvi üzərindədir (4 − 2 + 0 − 2 = 0), amma QN(0; 4; −5) normal (1; −2; 2)-yə kollinear deyil — o, perpendikulyarın oturacağı deyil.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «Müstəvinin tənliyi», səh. 56–60. Dərslikdə vektorun komponentləri bucaqlı mötərizədə yazılır; bu səhifədə adi mötərizə işlədilir.