Nyuton-Leybnis: modullu funksiyanın inteqralı — Sual · 6.56 Müəyyən inteqral. Nyuton-Leybnis düsturu

Müəyyən inteqralı hesablayın.

\int_{0}^{3} \left| x^2 - 1 \right|\,dx

İzahı göstər

Müəyyən inteqral · Nyuton-Leybnis düsturu · izah

Modullu funksiyanın inteqralı

Hesablayın: 30|x2 − 1| dx

1 · Əsas fikir

Hansı qayda işləyir?

Nyuton-Leybnis düsturu

f funksiyası [a; b] parçasında kəsilməzdirsə və F onun ibtidai funksiyalarından biridirsə:

baf(x) dx = F(x)ba = F(b) − F(a)

Addımlar: 1) F-i tap; 2) F(a) və F(b)-ni hesabla; 3) fərqi al.

Modulun içindəki ifadə işarəsini dəyişən nöqtədə parçanı bölürük. Hər hissədə modul adi çoxhədliyə çevrilir və Nyuton-Leybnis düsturu ayrıca tətbiq olunur. Dərslik də |2t − 6| sürəti ilə gedilən yolu belə hissələrə bölərək hesablayır.

2 · Həll

Addım-addım həll

HəllModul

x2 − 1 = 0 ⇒ x = ±1; parçaya yalnız x = 1 düşür. [0; 1]-də x2 − 1 ≤ 0, ona görə |x2 − 1| = 1 − x2; [1; 3]-də |x2 − 1| = x2 − 1.
Birinci hissə: 10(1 − x2) dx = (x − x33 / )10 = 1 − 13 / = 23 /
İkinci hissə: 31(x2 − 1) dx = (x33 / − x)31 = (9 − 3) − (13 / − 1) = 203 /
Hissələri toplayırıq: 23 / + 203 / = 223 / Cavab: 22/3

y = |x² − 1| qrafiki [0; 3] parçasında

Modul oxdan aşağıdakı hissəni (qırıq xətt) yuxarı əks etdirir; iki hissənin qiymətləri toplanır.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Modulsuz inteqral 6-dır; orada [0; 1] hissəsi −2/3 kimi daxil olur. Modul bu hissəni +2/3 edir, yəni nəticə 6 + 2 · 2/3 = 22/3 olmalıdır ✓.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

6Modul nəzərə alınmayıb: 30(x2 − 1) dx = 9 − 3 = 6. [0; 1] parçasında x2 − 1 mənfidir, modul isə onu müsbət edir.
20/3Yalnız [1; 3] hissəsi hesablanıb, [0; 1] hissəsinin 2/3 qiyməti atılıb.
12|x2 − 1| ifadəsi x2 + 1 kimi açılıb: 9 + 3 = 12. Modul hər həddin işarəsini ayrıca dəyişmir.
2/3Yalnız [0; 1] hissəsi hesablanıb; [1; 3] hissəsi də inteqrala daxildir.

Mənbə: «Riyaziyyat» 11-ci sinif dərsliyi (Elm və Təhsil Nazirliyi, CC BY-NC-SA 4.0), «Müəyyən inteqral. Nyuton-Leybnis düsturu» bölməsi, səh. 239–244.