Nyuton-Leybnis: üstlü funksiyanın inteqralı

Müəyyən inteqral, Nyuton-Leybnis düsturu: xətti arqumentli üstlü funksiyanın ibtidai funksiyasını (1/k)e^{kx} qaydası ilə tapmaq və loqarifmik sərhəddə e^{ln a} = a xassəsindən istifadə edərək inteqralı hesablamaq. 11-ci sinif, orta səviyyə.

Müəyyən inteqralı hesablayın.

\int_{0}^{\ln 4} e^{\frac{x}{2}}\,dx

İzahı göstər

Müəyyən inteqral · Nyuton-Leybnis düsturu · izah

Üstlü funksiyanın inteqralı

Hesablayın: ln 40ex/2 dx

1 · Əsas fikir

Hansı qayda işləyir?

Nyuton-Leybnis düsturu

f funksiyası [a; b] parçasında kəsilməzdirsə və F onun ibtidai funksiyalarından biridirsə:

baf(x) dx = F(x)ba = F(b) − F(a)

Addımlar: 1) F-i tap; 2) F(a) və F(b)-ni hesabla; 3) fərqi al.

ekx funksiyasının ibtidai funksiyası (1/k)ekx-dir. Burada k = 1/2, deməli vuruq 2-dir. Sərhəd ln 4 olduğuna görə loqarifmin xassəsi lazım olacaq: eln a = a.

2 · Həll

Addım-addım həll

HəllÜstlü

İbtidai funksiya: F(x) = 2ex/2, (2ex/2)′ = 2 · ½ · ex/2 = ex/2
Yuxarı sərhəd: (ln 4)/2 = ln √4 = ln 2, ona görə F(ln 4) = 2eln 2 = 2 · 2 = 4
Aşağı sərhəd: F(0) = 2e0 = 2
Fərq: ln 40ex/2 dx = 2ex/2ln 40 = 4 − 2 = 2 Cavab: 2

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

ln 4 ≈ 1,386. Bu parçada ex/2 1-dən 2-yə qədər artır, ona görə inteqral 1,386 · 1 ≈ 1,39 ilə 1,386 · 2 ≈ 2,77 arasında olmalıdır. 2 bu aralıqdadır.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

1/2Xətti arqumentin vuruğu səhv tərəfə yazılıb: ½ex/2 götürülüb. (½ex/2)′ = ¼ex/2, yəni bu ibtidai funksiya deyil.
1ex/2 özünün ibtidai funksiyası sayılıb: 2 − 1 = 1. Arqument x/2 olduğundan 1/(1/2) = 2 vuruğu lazımdır.
4Aşağı sərhəd unudulub: F(0) = 2e0 = 2 çıxılmayıb.
6e(ln 4)/2 = 4 hesab olunub: 2(4 − 1) = 6. Əslində (ln 4)/2 = ln 2, ona görə e(ln 4)/2 = 2.

Mənbə: «Riyaziyyat» 11-ci sinif dərsliyi (Elm və Təhsil Nazirliyi, CC BY-NC-SA 4.0), «Müəyyən inteqral. Nyuton-Leybnis düsturu» bölməsi, səh. 239–244.