Nyuton-Leybnis: naməlum yuxarı sərhəd

Müəyyən inteqral · Nyuton-Leybnis düsturu · izah

Naməlum yuxarı sərhəd

a > 2 olduqda a2(2x + 1) dx = 14 bərabərliyini ödəyən a ədədini tapın.

1 · Əsas fikir

Hansı qayda işləyir?

Nyuton-Leybnis düsturu

f funksiyası [a; b] parçasında kəsilməzdirsə və F onun ibtidai funksiyalarından biridirsə:

baf(x) dx = F(x)ba = F(b) − F(a)

Addımlar: 1) F-i tap; 2) F(a) və F(b)-ni hesabla; 3) fərqi al.

Yuxarı sərhəd naməlum olsa da Nyuton-Leybnis düsturu eyni qalır: inteqral F(a) − F(2) ifadəsidir. Bərabərlik a-ya görə tənliyə çevrilir, sonra köklərdən şərtə uyğun olanı seçilir.

2 · Həll

Addım-addım həll

HəllNaməlum sərhəd

1. İbtidai funksiya: F(x) = x2 + x
2. Düstur: a2(2x + 1) dx = F(a) − F(2) = a2 + a − 6
3. Şərtə görə: a2 + a − 6 = 14 ⇒ a2 + a − 20 = 0
4. Vuruqlara ayırırıq: (a + 5)(a − 4) = 0 ⇒ a = 4 və ya a = −5
5. a > 2 şərtinə yalnız a = 4 uyğundur. Cavab: a = 4

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

a = 4 üçün: F(4) − F(2) = 20 − 6 = 14 ✓. (a = −5 də ədədi olaraq 14 verir: F(−5) = 20, amma o, şərtlə istisna olunur.)

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• −5Kvadrat tənliyin ikinci köküdür, amma a > 2 şərtini ödəmir.
• 5Vuruqlara ayırarkən işarə səhv yazılıb: (a − 5)(a + 4) = a2 − a − 20, bizim tənlik isə a2 + a − 20 = 0-dır.
• 3√21-in ibtidai funksiyası (x) unudulub: a2 − 4 = 14, a = √18 = 3√2.
• 9İbtidai funksiya əvəzinə inteqralaltı funksiyanın uclardakı qiymətləri çıxılıb: (2a + 1) − 5 = 14.

Mənbə: «Riyaziyyat» 11-ci sinif dərsliyi (Elm və Təhsil Nazirliyi, CC BY-NC-SA 4.0), «Müəyyən inteqral. Nyuton-Leybnis düsturu» bölməsi, səh. 239–244.