Kök və mənfi üstlü qüvvətin inteqralı

Kök və mənfi üstlü qüvvət olan funksiyanın qeyri-müəyyən inteqralı: √x və 1/x² ifadələrini xᵐ şəklində yazmaq, qüvvət düsturunu kəsr və mənfi üstlər üçün tətbiq etmək, işarəni və bölünəni düzgün seçmək. Şagird nəticəni törəmə ilə yoxlayır. 11-ci sinif, qeyri-müəyyən inteqral, orta səviyyə.

x > 0 olduqda qeyri-müəyyən inteqralı hesablayın.

\int\left(3\sqrt{x} - \frac{2}{x^{2}}\right)dx

İzahı göstər

1 · Əsas fikir

Kökü və kəsri qüvvətə çeviririk

Əsas fikir

Kökü və kəsri əvvəlcə xᵐ şəklində yazırıq: √x = x1/2, 1/x² = x−2. Qüvvət düsturu kəsr və mənfi üstlər üçün də doğrudur, yalnız m = −1 istisnadır.

∫xmdx = xm+1/(m + 1) + C (m ≠ −1)

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələKök və mənfi üstlü qüvvətin inteqralı

x > 0 olduqda ∫(3√x − 2/x²)dx inteqralını hesablayın.

İnteqralaltı funksiyanı qüvvətlərlə yazırıq: 3√x − 2/x² = 3x1/2 − 2x−2.
∫3x1/2dx = 3 · x3/2 : (3/2) = 3 · (2/3) · x3/2 = 2x3/2 = 2x√x.
∫(−2x−2)dx = −2 · x−1 : (−1) = 2x−1 = 2/x. Üst −2-dən −1-ə artır (azalmır), −1-ə bölmə isə işarəni dəyişir.
Nəticələri toplayıb sabit əlavə edirik.

∫(3√x − 2/x²)dx = 2x√x + 2/x + C

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

(2x3/2)′ = 2 · (3/2) · x1/2 = 3√x və (2x−1)′ = −2x−2 = −2/x². Cəm inteqralaltı funksiyanı verir.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

2x√x − 2/x + C — x⁻²-nin ibtidaisində −1-ə bölmə işarəni dəyişir. Bu ifadənin törəməsi 3√x + 2/x²-dir.
(9/2)x√x + 2/x + C — 3 ədədi 3/2-yə bölünmək əvəzinə 3/2-yə vurulub; törəməsi (27/4)√x − 2/x²-dir.
3/(2√x) + 4/x³ + C — Bu, inteqralaltı funksiyanın törəməsidir: (3√x)′ = 3/(2√x), (−2/x²)′ = 4/x³.
2x√x + 2/(3x³) + C — x⁻²-nin üstü artırılmaq əvəzinə azaldılıb (−2 → −3); törəməsi 3√x − 2/x⁴-dür.