Üstlü funksiya və 1/(kx + b) kəsrinin inteqralı

1 · Əsas fikir

Xətti arqumentdə 1/k vuruğu

Əsas fikir

Arqument kx + b şəklində olduqda cədvəldəki ibtidai funksiya k-ya bölünür, çünki mürəkkəb funksiyanın törəməsində k vuruğu yaranır.

∫ekxdx = (1/k)ekx + C ∫dx/(kx + b) = = (1/k)ln|kx + b| + C

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələÜstlü funksiya və 1/(kx + b) kəsrinin inteqralı

x > 1/3 olduqda ∫(e²ˣ + 6/(3x − 1))dx inteqralını tapın.

1. Cəmin inteqralını hədlər üzrə ayırırıq: ∫e2xdx + 6∫dx/(3x − 1).
2. k = 2: ∫e2xdx = ½e2x. Yoxlama: (½e2x)′ = ½ · 2e2x = e2x.
3. k = 3, b = −1: 6∫dx/(3x − 1) = 6 · ⅓ · ln|3x − 1| = 2ln|3x − 1|. Modul ümumi yazılışdır; x > 1/3 olduğundan burada 3x − 1 > 0-dır.
4. Nəticələri toplayıb sabit əlavə edirik.

½e²ˣ + 2ln|3x − 1| + C

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

(½e2x + 2ln|3x − 1|)′ = e2x + 2 · 3/(3x − 1) = e2x + 6/(3x − 1). Bu, inteqralaltı funksiyadır.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 2e²ˣ + 18ln|3x − 1| + C — k əmsallarına bölmək əvəzinə vurulub; törəməsi 4e²ˣ + 54/(3x − 1)-dir.
• ½e²ˣ + 6ln|3x − 1| + C — Loqarifmli həddə 1/k = 1/3 vuruğu unudulub; törəməsi e²ˣ + 18/(3x − 1)-dir.
• e²ˣ + 2ln|3x − 1| + C — e²ˣ-in ibtidaisi e²ˣ deyil, çünki (e²ˣ)′ = 2e²ˣ; ½ vuruğu lazımdır.
• ½e²ˣ − 18/(3x − 1)² + C — İkinci həddin ibtidaisi yerinə törəməsi yazılıb: (6/(3x − 1))′ = −18/(3x − 1)².