Qrafiki verilmiş nöqtədən keçən ibtidai funksiya

1 · Əsas fikir

Nöqtə sabiti müəyyən edir

Əsas fikir

Ümumi şəkil F(x) + C sonsuz sayda əyri verir; onlar bir-birindən şaquli sürüşdürmə ilə alınır. Qrafikin keçdiyi nöqtə C-ni tək bir qiymətə bağlayır: nöqtənin koordinatlarını ümumi şəkildə yerinə yazırıq.

M(x₀; y₀) qrafikdədir: F(x₀) + C = y₀

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələQrafiki verilmiş nöqtədən keçən ibtidai funksiya

f(x) = 3x² − 4x + 1 funksiyasının qrafiki M(2; 5) nöqtəsindən keçən ibtidai funksiyasını tapın.

1. Ümumi şəkil: ∫(3x² − 4x + 1)dx = x³ − 2x² + x + C.
2. Qrafik M(2; 5) nöqtəsindən keçir, yəni x = 2 olduqda funksiyanın qiyməti 5-dir: 2³ − 2 · 2² + 2 + C = 8 − 8 + 2 + C = 2 + C.
3. 2 + C = 5, buradan C = 3.

F(x) = x³ − 2x² + x + 3

İbtidai funksiyalar ailəsi

f(x) = 3x² − 4x + 1 funksiyasının üç ibtidaisi (C = 0, C = 3, C = 6). Əyrilər bir-birindən şaquli sürüşmə ilə alınır və M(2; 5) nöqtəsindən yalnız C = 3 olan əyri keçir.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

F(2) = 8 − 8 + 2 + 3 = 5 ✓ və F′(x) = 3x² − 4x + 1 = f(x) ✓. Hər iki şərt yoxlanmalıdır: nöqtədən keçmək kifayət deyil, törəmə də f(x) olmalıdır.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• F(x) = x³ − 2x² + x + 5 — C nöqtənin ordinatına (5) bərabər götürülüb; amma F(2) = 2 + 5 = 7 ≠ 5.
• F(x) = x³ − 2x² + x + 7 — 2 + C = 5 tənliyində 2 sağ tərəfə işarəsi dəyişmədən keçirilib (C = 5 + 2); F(2) = 9 ≠ 5.
• F(x) = x³ − 2x² + x − 3 — C = 2 − 5 yazılıb, yəni tənlik tərsinə həll olunub; F(2) = −1 ≠ 5.
• F(x) = x³ − 4x² + x + 11 — −4x-in ibtidaisi −2x² əvəzinə −4x² götürülüb. Bu əyri M-dən keçir (F(2) = 5), amma törəməsi 3x² − 8x + 1 ≠ f(x).