Düz xətt üzrə hərəkət edən maddi nöqtənin sürəti v(t) = 3t² − 4t + 5 (m/san) qanunu ilə dəyişir. t = 1 san anında nöqtənin koordinatı x = 6 m olmuşdur. t = 3 san anında nöqtənin koordinatını tapın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Koordinat sürətin ibtidaisidir
Əsas fikir
Koordinatın zamana görə törəməsi sürətdir: x′(t) = v(t). Deməli, x(t) sürətin ibtidai funksiyasıdır, onun sabitini isə verilmiş andakı koordinat müəyyən edir.
x(t) = ∫v(t)dt x(t₀) = x₀ ⇒ C
2 · Həll
Addım-addım həll
MəsələSürətə görə nöqtənin koordinatı
v(t) = 3t² − 4t + 5 (m/san), x(1) = 6 m. x(3) = ?
- x(t) = ∫(3t² − 4t + 5)dt = t³ − 2t² + 5t + C.
- t = 1 san anında x = 6 m: 1 − 2 + 5 + C = 4 + C = 6, buradan C = 2.
- Hərəkət qanunu: x(t) = t³ − 2t² + 5t + 2.
- x(3) = 27 − 18 + 15 + 2 = 26 (m).
t = 3 san anında x = 26 m
Nöqtənin koordinatı zamandan asılı olaraq
x(t) = t³ − 2t² + 5t + 2 qrafiki (mavi) t = 1 anında 6, t = 3 anında 26 qiymətini alır. Qırıq xətt C = 0 halıdır: o, 2 vahid aşağıdadır və t = 1-də 4 verir.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayırıq
x′(t) = 3t² − 4t + 5 = v(t) ✓ və x(1) = 1 − 2 + 5 + 2 = 6 ✓. 3t² − 4t + 5-in diskriminantı 16 − 60 < 0 olduğu üçün sürət həmişə müsbətdir: nöqtə bir istiqamətdə hərəkət edir və koordinatı 6 m-dən 26 m-ə artır.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- 24 m — C = 0 götürülüb, yəni t = 1 anındakı şərt nəzərə alınmayıb: 27 − 18 + 15 = 24.
- 30 m — x = 6 m şərti t = 0 anına aid edilib (C = 6); amma 6 m t = 1 san anındakı koordinatdır.
- 20 m — Bu, v(3) = 27 − 12 + 5 = 20, yəni t = 3 anındakı sürətdir (m/san), koordinat deyil.
- 22 m — 4 + C = 6 tənliyindən C = −2 yazılıb (işarə səhvi): 24 − 2 = 22.