Daş yerdən 20 m hündürlükdə olan eyvandan şaquli yuxarı 15 m/san sürətlə atılır. Yuxarı istiqaməti müsbət götürək: daşın təcili a(t) = −10 m/san² (g ≈ 10 m/san²), hava müqaviməti nəzərə alınmır. t = 2 san anında daşın v sürəti və yerdən h hündürlüyü nəyə bərabərdir?
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
İki dəfə ibtidai funksiya
Əsas fikir
Təcil sürətin, sürət isə hündürlüyün törəməsidir: v′(t) = a(t), h′(t) = v(t). Ona görə iki dəfə ibtidai funksiya tapırıq və hər dəfə sabiti öz başlanğıc şərtindən müəyyən edirik.
v(t) = ∫a(t)dt h(t) = ∫v(t)dt
2 · Həll
Addım-addım həll
MəsələTəcildən sürətə və hündürlüyə
a(t) = −10 m/san², v(0) = 15 m/san, h(0) = 20 m. v(2) və h(2) = ?
- v(t) = ∫(−10)dt = −10t + C₁. v(0) = 15 olduğundan C₁ = 15: v(t) = −10t + 15.
- h(t) = ∫(−10t + 15)dt = −5t² + 15t + C₂. h(0) = 20 olduğundan C₂ = 20: h(t) = −5t² + 15t + 20.
- t = 2: v(2) = −20 + 15 = −5 (m/san), h(2) = −20 + 30 + 20 = 30 (m).
v = −5 m/san, h = 30 m
Daşın hündürlüyü zamandan asılı olaraq
h(t) = −5t² + 15t + 20 qrafiki: daş 20 m-dən başlayır, t = 1,5 san-də 31,25 m-ə qalxır, t = 2-də 30 m-də olur və t = 4-də yerə düşür.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayırıq
h′(t) = −10t + 15 = v(t) və v′(t) = −10 = a(t) ✓. Mənfi sürət daşın artıq aşağı düşdüyünü göstərir: v(t) = 0 olur t = 1,5 san-də, ən böyük hündürlük h(1,5) = 31,25 m-dir, t = 2-də daş ondan 1,25 m aşağıdadır.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- v = 35 m/san, h = 70 m — Təcil müsbət götürülüb (a = +10). Ağırlıq qüvvəsi yuxarı atılmış daşı yavaşıdır, sürətini artırmır.
- v = −5 m/san, h = 10 m — İkinci inteqrallamada C₂ = 0 götürülüb, eyvanın 20 m hündürlüyü unudulub.
- v = −20 m/san, h = 0 m — Birinci inteqrallamada C₁ = 0 götürülüb, başlanğıc sürət 15 m/san nəzərə alınmayıb; daş sanki sadəcə buraxılıb.
- v = −5 m/san, h = 50 m — Hündürlük h = 20 + 15t kimi, sürət sabitmiş kimi hesablanıb; sürət dəyişdiyi üçün h(t) v(t)-nin ibtidaisi kimi tapılmalıdır.