Mətn
Tam əmsallı çoxhədli verilmişdir; burada a — tam ədəddir. Məlumdur ki, x = 1/2 bu çoxhədlinin köküdür.
P(x) çoxhədlisinin digər iki kökünün cəmini tapın.
İzahı göstər
6.4 · Rasional köklərin tapılması · İzah
Məlum kökə görə parametr və digər köklər
P(x) = 2x3 + ax2 − 13x + 6, P(1/2) = 0. Digər iki kökün cəmini tapın.
1 · Əsas fikir
Rasional köklər haqqında teorem
Yadda saxla
Əmsalları tam ədədlər olan P(x) = anxn + … + a1x + a0 çoxhədlisinin rasional kökü varsa, bu kök ixtisarolunmaz pq / kəsridir və
- p — sərbəst həddin (a0) böləni,
- q — baş əmsalın (an) böləni.
m kökdürsə, P(m) = 0 və x − m vuruqdur (vuruqlar haqqında teorem). Sintetik bölmə kəsr m üçün də eyni qaydada aparılır.
Addımlar: namizədləri yazırıq → çoxhədlini sıfıra çevirən namizədi (m) tapırıq → x − m-ə sintetik bölürük → qalan vuruğun (çox vaxt kvadrat üçhədlinin) köklərini tapırıq. Namizədlərin heç biri kök deyilsə, rasional kök yoxdur.
2 · Həll
Addım-addım həll
SualMəlum kökə görə parametr və digər köklər
P(x) = 2x3 + ax2 − 13x + 6, P(1/2) = 0. Digər iki kökün cəmini tapın.
- P(1/2) = 2·(1/8) + a·(1/4) − 13/2 + 6 = 1/4 + a/4 − 1/2 = (a − 1)/4. Bu 0-dır, deməli a = 1.
- P(x) = 2x3 + x2 − 13x + 6. Sintetik bölmə (1/2-yə): 2, 1, −13, 6 → 2, 2, −12, qalıq 0.
- Qismət: 2x2 + 2x − 12 = 2(x2 + x − 6) = 2(x + 3)(x − 2).
- Digər köklər −3 və 2; cəmi −3 + 2 = −1. Digər iki kökün cəmi −1
2x³ + x² − 13x + 6 çoxhədlisinin 1/2-yə sintetik bölünməsi
Kəsr kökə də sintetik bölmə aparılır: qismət 2x² + 2x − 12 = 2(x + 3)(x − 2).
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
P(2) = 16 + 4 − 26 + 6 = 0, P(−3) = −54 + 9 + 39 + 6 = 0. Hər iki kök teoremə uyğundur: 6-nın bölənləridir. Ayrılışı açaq: (2x − 1)(x − 2)(x + 3) = 2x3 + x2 − 13x + 6 — a = 1 olan çoxhədli alınır.
4 · Diqqət
Niyə digər cavablar səhvdir
- 1 işarə səhvi: kvadrat üçhədli x² + x − 6-nın kökləri −3 və 2-dir, 3 və −2 yox.
- −1/2 üç kökün hamısının cəmidir (1/2 + 2 − 3); sual yalnız digər iki kökü soruşur.
- −6 iki kökün hasilidir (−3 · 2), cəmi deyil.
- 5 köklərin fərqidir (2 − (−3)), cəmi deyil.
Tipik səhv
Parametri tapmadan bölməyə başlamaq.
Düzgün yanaşma
Sintetik bölmə üçün bütün əmsallar məlum olmalıdır; əvvəl P(1/2) = 0 şərtindən a = 1 tapılır.
Mənbə: «Riyaziyyat» 11-ci sinif dərsliyi, «Rasional köklərin tapılması», çap səh. 15–17. Sualdakı çoxhədli və ədədlər bu tapşırıq üçün seçilib.