Rasional əmsallı tənliyin kökləri

6.4 · Rasional köklərin tapılması · İzah

Rasional əmsallı tənliyin kökləri

(1/3)x3 − (1/2)x2 − (1/3)x + 1/2 = 0 tənliyinin bütün köklərini tapın.

1 · Əsas fikir

Rasional köklər haqqında teorem

Yadda saxla

Əmsalları tam ədədlər olan P(x) = anxn + … + a1x + a0 çoxhədlisinin rasional kökü varsa, bu kök ixtisarolunmaz pq / kəsridir və

• p — sərbəst həddin (a0) böləni,
• q — baş əmsalın (an) böləni.

Diqqət! Əmsallar kəsrdirsə, əvvəlcə tənliyin hər iki tərəfini elə ədədə vururuq ki, bütün əmsallar tam olsun. Sıfırdan fərqli ədədə vurmaq kökləri dəyişmir.

Addımlar: namizədləri yazırıq → çoxhədlini sıfıra çevirən namizədi (m) tapırıq → x − m-ə sintetik bölürük → qalan vuruğun (çox vaxt kvadrat üçhədlinin) köklərini tapırıq. Namizədlərin heç biri kök deyilsə, rasional kök yoxdur.

2 · Həll

Addım-addım həll

SualRasional əmsallı tənliyin kökləri

(1/3)x3 − (1/2)x2 − (1/3)x + 1/2 = 0 tənliyinin bütün köklərini tapın.

1. Məxrəclər 3 və 2-dir, ƏKOB = 6. Hər iki tərəfi 6-ya vururuq: Q(x) = 2x3 − 3x2 − 2x + 3 = 0. Kökləri ilkin tənliyin kökləri ilə eynidir.
2. Namizədlər: p ∈ {±1, ±3}, q ∈ {1, 2} → ±1, ±3, ±1/2, ±3/2.
3. Q(1) = 2 − 3 − 2 + 3 = 0 — 1 kökdür. Sintetik bölmə (1-ə): 2, −3, −2, 3 → 2, −1, −3, qalıq 0. Qismət: 2x2 − x − 3.
4. 2x2 − x − 3 = (2x − 3)(x + 1), kökləri 3/2 və −1.
5. Tənliyin kökləri: −1; 1; 3/2. x ∈ {−1; 1; 3/2}

2x³ − 3x² − 2x + 3 çoxhədlisinin 1-ə sintetik bölünməsi

Qalıq 0 — 1 kökdür; qismət 2x² − x − 3 = (2x − 3)(x + 1).

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Q(−1) = −2 − 3 + 2 + 3 = 0, Q(3/2) = 27/4 − 27/4 − 3 + 3 = 0. Qruplaşdırma ilə də: x2(2x − 3) − (2x − 3) = (2x − 3)(x − 1)(x + 1).

4 · Diqqət

Niyə digər cavablar səhvdir

• −1; 1; 2/3 2/3 ədədində surət və məxrəc yerini dəyişib: vuruq 2x − 3 sıfır olanda x = 3/2 olur. 2/3 heç namizəd də deyil (məxrəc 3 baş əmsalın, 2-nin, böləni deyil).
• 1; 3/2 −1 kökü itib: 2x2 − x − 3 kvadrat üçhədlisinin iki kökü var, −1 də kökdür.
• −1; 1; 3 3 namizəddir (p = 3, q = 1), amma kök deyil: Q(3) = 24 ≠ 0. 2x − 3 = 0 bərabərliyindən x = 3/2 alınır — 2-yə bölmək unudulub.
• −1; 1; −3/2 işarə səhvidir: Q(−3/2) = −15/2 ≠ 0; düzgün vuruq 2x − 3-dür.

Tipik səhv

Teoremi kəsr əmsallarına birbaşa tətbiq etmək.

Düzgün yanaşma

Teorem tam əmsallar üçündür: kəsr əmsallarda «sərbəst həddin böləni» anlayışı mənasızdır. Əvvəlcə tənliyi 6-ya vururuq, sonra namizədləri yazırıq.

Mənbə: «Riyaziyyat» 11-ci sinif dərsliyi, «Rasional köklərin tapılması», çap səh. 15–17. Sualdakı çoxhədli və ədədlər bu tapşırıq üçün seçilib.