Rasional kökü olmayan çoxhədli

6.4 · Rasional köklərin tapılması · İzah

Rasional kökü olmayan çoxhədli

Verilən beş çoxhədlidən rasional kökü olmayanını tapın.

1 · Əsas fikir

Rasional köklər haqqında teorem

Yadda saxla

Əmsalları tam ədədlər olan P(x) = anxn + … + a1x + a0 çoxhədlisinin rasional kökü varsa, bu kök ixtisarolunmaz pq / kəsridir və

• p — sərbəst həddin (a0) böləni,
• q — baş əmsalın (an) böləni.

Siyahıdakı namizədlərin heç biri çoxhədlini sıfıra çevirmirsə, çoxhədlinin rasional kökü yoxdur (dərslikdəki addımların 5-cisi).

Addımlar: namizədləri yazırıq → çoxhədlini sıfıra çevirən namizədi (m) tapırıq → x − m-ə sintetik bölürük → qalan vuruğun (çox vaxt kvadrat üçhədlinin) köklərini tapırıq. Namizədlərin heç biri kök deyilsə, rasional kök yoxdur.

2 · Həll

Addım-addım həll

SualRasional kökü olmayan çoxhədli

Verilən beş çoxhədlidən rasional kökü olmayanını tapın.

1. Hər çoxhədli üçün namizəd yazıb ən sadələrini (±1) yoxlayırıq — bir kök tapılsa, o çoxhədli cavab deyil.
2. x3 + 3x2 − 4: x = 1 → 1 + 3 − 4 = 0. 2x3 + x2 + 1: x = −1 → −2 + 1 + 1 = 0.
3. 2x3 + 3x2 − 1: x = −1 → −2 + 3 − 1 = 0. x3 − 4x − 3: x = −1 → −1 + 4 − 3 = 0.
4. x3 − 2x + 2: namizədlər ±1, ±2 (baş əmsal 1). Qiymətlər: f(1) = 1, f(−1) = 3, f(2) = 6, f(−2) = −2. Heç biri 0 deyil.
5. Deməli, rasional kökü olmayan çoxhədli x3 − 2x + 2-dir. x³ − 2x + 2

y = x³ − 2x + 2 funksiyasının qrafiki

Namizədlərin heç biri kök deyil (qırmızı çarpazlar), yeganə həqiqi kök isə irrasionaldır (narıncı nöqtə).

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

f(−2) = −2 < 0 və f(−1) = 3 > 0 olduğundan, x³ − 2x + 2-nin −2 ilə −1 arasında həqiqi kökü var (təxminən −1,77) — amma o, rasional deyil, çünki bütün rasional namizədlər yoxlanıldı.

4 · Diqqət

Niyə digər cavablar səhvdir

• x³ + 3x² − 4 x = 1 kökdür: 1 + 3 − 4 = 0 (həm də −2 iki dəfə təkrarlanan kökdür).
• 2x³ + x² + 1 x = −1 kökdür: −2 + 1 + 1 = 0.
• 2x³ + 3x² − 1 x = −1 kökdür; kəsr kökü 1/2 də var: 2·1/8 + 3·1/4 − 1 = 0. Kəsr namizədləri unutmaq bu variantı səhvən seçdirə bilər.
• x³ − 4x − 3 x = −1 kökdür: −1 + 4 − 3 = 0.

Tipik səhv

«Rasional kök yoxdur» ilə «kök yoxdur»u eyniləşdirmək.

Düzgün yanaşma

x³ − 2x + 2-nin həqiqi kökü var, sadəcə irrasionaldır. Teorem yalnız rasional kökləri yoxlayır.

Mənbə: «Riyaziyyat» 11-ci sinif dərsliyi, «Rasional köklərin tapılması», çap səh. 15–17. Sualdakı çoxhədli və ədədlər bu tapşırıq üçün seçilib.