Skalyar kvadratla vektorun uzunluğu

1 · Əsas fikir

Uzunluq skalyar kvadratdan

Qayda

Vektorun uzunluğunun kvadratı onun özünə skalyar hasilidir: |v|² = v · v. Buna görə

|2a − b|² = (2a − b) · (2a − b) = 4|a|² − 4a·b + |b|²

Ara hədd a·b = |a||b| cos θ ilə hesablanır və heç vaxt atılmır.

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələSkalyar kvadratla vektorun uzunluğu

|a| = 2, |b| = 3 və a ilə b arasındakı bucaq 120°-dir. 2a − b vektorunun uzunluğunu tapın.

1. Uzunluğun kvadratını skalyar hasil kimi yazırıq: |2a − b|² = (2a − b) · (2a − b).
2. Açırıq: 4a·a − 2a·b − 2b·a + b·b = 4|a|² − 4a·b + |b|².
3. Ara hədd: a·b = 2 · 3 · cos 120° = 6 · (−1/2) = −3.
4. Yerinə yazırıq: 4·4 − 4·(−3) + 9 = 16 + 12 + 9 = 37.
5. Kök alırıq: |2a − b| = √37.

Cavab: √37

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

Ağlabatanlıq: vektorlar perpendikulyar olsaydı, cavab √(16 + 9) = 5 olardı. Bucaq 90°-dən böyük olduğu üçün 2a ilə −b arasındakı bucaq kiçilir və fərqin uzunluğu artır: √37 ≈ 6,08 > 5. Uzunluqların cəmindən (4 + 3 = 7) isə kiçikdir.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv yanaşma

|2a − b|² = 16 + 9 = 25

Ara hədd −4a·b atılıb.

Düzgün

|2a − b|² = 16 + 12 + 9 = 37

Ara hədd saxlanılır və işarəsi ilə hesablanır.

Digər cavablar niyə səhvdir

• 5 — Ara hədd −4a·b atılıb: √(16 + 9). Vektorlar perpendikulyar olmadığı üçün bu hədd sıfır deyil.
• √13 — Ara həddin işarəsi səhvdir: 16 + 4a·b + 9 = 16 − 12 + 9. Düzgün: −4a·b = −4·(−3) = +12.
• √31 — Ara həddə 2a‑nın 2 vuruğu düşməyib: −2a·b götürülüb (16 + 6 + 9). (2a − b)·(2a − b)-də ara hədd −2·(2a)·b = −4a·b‑dir.
• 1 — Uzunluqlar vektor kimi çıxılıb: 2·2 − 3. Uzunluq bucaqdan asılıdır, |2a − b| ≠ 2|a| − |b|.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «İki vektorun skalyar hasili», səh. 49–53. Dərslikdə vektorun komponentləri bucaqlı mötərizədə yazılır; bu səhifədə adi mötərizə işlədilir.