Verilmiş bucağa görə parametr

1 · Əsas fikir

Bucağa görə parametr

Qayda

Sıfır olmayan iki vektor arasındakı bucaq kosinusa görə tapılır:

cos θ = (a · b) / (|a| · |b|), 0° ≤ θ ≤ 180°

Kosinusun işarəsi vacibdir: müsbət — iti bucaq, sıfır — düz bucaq, mənfi — kor bucaq.

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələVerilmiş bucağa görə parametr

a(2; −1; 3) və b(k; 2; 1) verilib. k‑nın hansı qiymətində a və b arasındakı bucaq 60° olar?

1. Hissələr: a · b = 2k + (−1)·2 + 3·1 = 2k + 1; |a| = √(4 + 1 + 9) = √14; |b| = √(k² + 4 + 1) = √(k² + 5).
2. Tənlik: (2k + 1) / (√14 · √(k² + 5)) = cos 60° = 1/2. Sağ tərəf müsbətdir, deməli 2k + 1 > 0 olmalıdır.
3. Kvadrata yüksəldirik: 4(2k + 1)² = 14(k² + 5) ⇒ 16k² + 16k + 4 = 14k² + 70 ⇒ 2k² + 16k − 66 = 0 ⇒ k² + 8k − 33 = 0.
4. Köklər: (k + 11)(k − 3) = 0 ⇒ k = 3 və ya k = −11.
5. Yoxlama: k = 3 üçün 2k + 1 = 7 > 0 — uyğundur. k = −11 üçün 2k + 1 = −21 < 0 — bucaq 120° olardı, atılır.

Cavab: 3

Köklərin yoxlanması

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

k = 3: b(3; 2; 1), a · b = 6 − 2 + 3 = 7, |a| = |b| = √14, cos θ = 7/14 = 1/2, θ = 60°.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv yanaşma

k = 3 və ya k = −11

Kvadrata yüksəltmə kənar kök verdi; işarə yoxlanmayıb.

Düzgün

k = 3

cos 60° > 0, ona görə a · b > 0 olan kök saxlanılır.

Digər cavablar niyə səhvdir

• −11 — Bu, kvadrata yüksəltmədən yaranan kənar kökdür: k = −11 olanda a·b = −21 < 0, cos θ = −1/2, bucaq 120°-dir.
• 3 və ya −11 — Kvadrat tənliyin hər iki kökü saxlanılıb. cos 60° = 1/2 müsbətdir, ona görə a·b = 2k + 1 > 0 olmalıdır; k = −11 bu şərti ödəmir.
• 11 — Kvadrat tənlikdə 8k həddinin işarəsi səhvdir (k² − 8k − 33 = 0). k = 11 olanda cos θ = 23/42 ≠ 1/2.
• −3 — Kvadrat tənlikdə 8k həddinin işarəsi səhvdir (k² − 8k − 33 = 0). k = −3 olanda a·b = −5 < 0, bucaq kor olur.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «İki vektorun skalyar hasili», səh. 49–53. Dərslikdə vektorun komponentləri bucaqlı mötərizədə yazılır; bu səhifədə adi mötərizə işlədilir.