x ≠ y, x > 0, y > 0, xy = 2 və x³ − y³ = 7(x − y) olarsa, x + y cəmini tapın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Şərti düsturla sadələşdiririk
Əsas fikir
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
(a ± b)² = a² ± 2ab + b²
Şərtdə kublar fərqi varsa, onu vuruqlara ayırıb eyni vuruğa ixtisar edirik (vuruq sıfır deyilsə). Sonra x² + y², x + y və xy arasındakı əlaqəni tam kvadrat düsturu verir: (x + y)² = x² + y² + 2xy.
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
Tapşırıqx³ − y³ = 7(x − y) şərtindən x + y-i tapmaq
x ≠ y, x > 0, y > 0, xy = 2 və x³ − y³ = 7(x − y) olarsa, x + y cəmini tapın.
- Kublar fərqi: x³ − y³ = (x − y)(x² + xy + y²), ona görə (x − y)(x² + xy + y²) = 7(x − y).
- x ≠ y olduğundan x − y ≠ 0; hər iki tərəfi x − y-ə bölürük: x² + xy + y² = 7.
- xy = 2, deməli x² + y² = 7 − 2 = 5.
- Tam kvadrat: (x + y)² = x² + y² + 2xy = 5 + 4 = 9. x və y müsbətdir, ona görə x + y də müsbətdir; kvadratı 9 olan müsbət ədəd 3-dür (3 · 3 = 9): x + y = 3.
- Cavab: x + y = 3
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
x = 2, y = 1 şərtləri ödəyir: xy = 2, x³ − y³ = 8 − 1 = 7 = 7 · (2 − 1). Cəm 2 + 1 = 3.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- 99 = (x + y)²-dir, yəni cəmin kvadratıdır. Cəmin özü kvadratı 9 olan müsbət ədəddir: 3 · 3 = 9, ona görə x + y = 3.
- 55 = x² + y²-dir. x + y-i tapmaq üçün tam kvadrat düsturu lazımdır: (x + y)² = x² + y² + 2xy = 5 + 4 = 9.
- 77 = x² + xy + y²-dir, yəni kublar fərqinin ikinci vuruğu. Ondan xy = 2-ni çıxıb tam kvadrata keçmək lazımdır.
- 11 = (x − y)²-dir: x² + y² − 2xy = 5 − 4. Sual x − y-i yox, x + y-i soruşur.