Mətn
ABC üçbucağında BM medianı çəkilib. D nöqtəsi BC tərəfi üzərindədir və BD : DC = 1 : 2. AD və BM parçaları O nöqtəsində kəsişir. AD = 24 sm olarsa, AO parçasının uzunluğunu tapın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Köməkçi paralel düz xətt
Əsas fikir
Teorem. «Bucağın tərəflərini kəsən paralel düz xətlər bucağın tərəfləri üzərində mütənasib parçalar ayırır.»
AA₁ ∥ BB₁ ∥ CC₁ olarsa, AB : BC = A₁B₁ : B₁C₁.
«Bu teoremə Fales teoreminin ümumiləşməsi də deyilir.» Bir tərəfdəki parçalar hansı ardıcıllıqla yazılırsa, digər tərəfdə onların qarşısındakı parçalar da eyni ardıcıllıqla yazılır.
Dərslik medianların xassəsini isbat edərkən köməkçi paralel düz xətt çəkir: «ME || AN xətti çəkək … mütənasib parçalar haqqında teoremə görə BE = EN olur.» Nisbəti məlum olmayan kəsişmə nöqtəsi üçün də belə edilir: verilmiş parçaya paralel düz xətt çəkilir və teorem iki dəfə, iki müxtəlif bucaqda tətbiq olunur.
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
TapşırıqMedian və kəsişən parça: köməkçi paralel
ABC üçbucağında BM medianı və AD parçası O nöqtəsində kəsişir
ABC üçbucağında BM medianı çəkilib. D nöqtəsi BC tərəfi üzərindədir və BD : DC = 1 : 2. AD və BM parçaları O nöqtəsində kəsişir. AD = 24 sm olarsa, AO parçasının uzunluğunu tapın.
- AD median deyil (BD : DC = 1 : 2), ona görə O ağırlıq mərkəzi deyil və 2 : 1 xassəsi burada işləmir.
- D nöqtəsindən BM-ə paralel DK düz xəttini çəkək (K ∈ AC). C bucağının tərəflərini DK və BM paralel düz xətləri kəsir: CK : KM = CD : DB = 2 : 1. Deməli, KM = MC : 3.
- AM = MC olduğundan AM : MK = 3 : 1.
- İndi A bucağının tərəflərini (AD və AC) OM və DK paralel düz xətləri kəsir: AO : OD = AM : MK = 3 : 1.
- AD = 24 sm, o 3 + 1 = 4 bərabər hissədən ibarətdir: bir hissə 24 : 4 = 6 sm. AO = 3 · 6 = 18 sm.
- Cavab: 18 sm
ABC üçbucağında BM medianı və AD parçası O nöqtəsində kəsişir
DK ∥ BM köməkçi düz xətti: əvvəl C bucağında KM = MC : 3, sonra A bucağında AO : OD = 3 : 1.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
AO + OD = 18 + 6 = 24 sm ✓. Ədədi yoxlama: MC 3 hissə olsun; onda KM = 1, AM = 3, AM : MK = 3 : 1 = AO : OD ✓.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- 16 smO medianların kəsişmə nöqtəsi sayılıb (2 : 1). AD median deyil (BD ≠ DC), ona görə bu xassə tətbiq olunmur.
- 12 smO nöqtəsi AD-nin ortası sayılıb. Köməkçi paralel göstərir ki, AO : OD = 3 : 1.
- 8 smNisbət tərsinə götürülüb: AO : OD = 1 : 2. O nöqtəsi D-yə yaxındır, AO böyük hissədir.
- 6 smBu OD-dir. Soruşulan AO = 24 − 6 = 18 sm-dir.