Mütənasib parçalar: çəpinə kəsilən tort

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: şənbə səhəri. Kiçik bir ailə şirniyyat sexində sobalar artıq isinib, havada vanil və şokolad qoxusu var. Səkkizinci sinif şagirdi Röya anasına kömək edir. Anası qənnadıçıdır və bu gün vitrin üçün xüsusi sifariş var: hündür, qat-qat bir tort. Sifarişçi istəyir ki, tort çəpinə kəsilsin və kəsiyin üzündə qatlar gözəl görünsün. Röya xətkeşlə tortun düz, şaquli kənarını ölçür. Aşağıda biskvit qatı var, hündürlüyü səkkiz santimetrdir. Üstündə şokoladlı krem qatı var, hündürlüyü iki santimetrdir. Anası uzun bıçağı tortun üst kənarından aşağı küncünə qədər çəpinə yeridir. Röya indi kəsiyin üzündə krem qatını yenidən ölçür. Çəp xətt boyunca krem üç santimetr çıxır. Anası deyir: “Biskvitin kənarına nazik şokolad lent yapışdıracağıq. Lenti əvvəlcədən kəsmək lazımdır. Çəp kəsikdə biskvit qatının uzunluğu nə qədərdir?” Röya fikirləşir: “Kəsik kremə bir santimetr əlavə etdi: iki idi, üç oldu. Deməli, biskvitə də bir santimetr əlavə edəcək. Səkkiz santimetrə bir santimetr də gəlir, alınır doqquz.” Anası gülümsəyir: “Lenti on iki santimetr kəs. Bunu hesablamaq olar.” Kim haqlıdır? Və anası bunu xətkeşsiz haradan bilir? Salam! Bu dinləmə dərsində mütənasib parçalardan danışacağıq. Röyanın tortu bizi bir teoremə aparacaq: Fales teoreminin ümumiləşməsinə. Sonra tərs teoremi, üçbucağın medianlarının gizli nisbətini və tənbölənin xassəsini öyrənəcəyik. Sonda parçanı istədiyimiz nisbətdə bölməyi kağız üzərində edəcəyik. Yanınızda kağız və qələm olsa, yaxşıdır: bir yerdə sizi çəkməyə dəvət edəcəyəm. Birinci fəsil: kəsik bir bucaqdır. Tortu yandan, bir şəkil kimi təsəvvür edək. Düz kənar və çəp kəsik tortun alt küncündə görüşür. Bu künc bucağın təpəsidir. Düz kənar və çəp kəsik isə bucağın iki tərəfidir. Qatların sərhədləri üfüqi xətlərdir və bir-birinə paraleldir. Deməli, qarşımızda paralel düz xətlərin kəsdiyi bir bucaq var. İki parçanın nisbəti onların uzunluqlarının nisbətidir. Düz kənarda kremin biskvitə nisbəti ikinin səkkizə nisbətidir, yəni birin dördə nisbəti. Krem biskvitdən dörd dəfə qısadır. İndi Fales teoremini xatırlayaq. Paralel düz xətlər bucağın bir tərəfində bərabər parçalar ayırırsa, digər tərəfində də bərabər parçalar ayırır. Gəlin biskviti fikrən dörd nazik zolağa bölək. Hər zolaq iki santimetrdir, krem qatı qədər. Zolaqların sərhədləri də üfüqi və paraleldir. Düz kənarda indi beş bərabər parça var: dörd biskvit zolağı və krem. Fales teoreminə görə çəp kəsikdə də beş bərabər parça olacaq. Kremin çəp parçası üç santimetrdir. Deməli, hər biskvit zolağı da çəp kəsikdə üç santimetrdir. Dörd zolağın hər biri üç santimetr, cəmi on iki santimetr. Burada əsas fikir budur: çəp kəsik hər parçanı uzadır, amma hamısını eyni dəfə uzadır. İki santimetr üç santimetr oldu, yəni bir yarım dəfə uzandı. Səkkiz santimetr də bir yarım dəfə uzanır və on iki olur. Nisbət eyni qalır: çəp kəsikdə də kremin biskvitə nisbəti birin dördə nisbətidir. Dərslik bunu belə deyir: bucağın tərəflərini kəsən paralel düz xətlər bucağın tərəfləri üzərində mütənasib parçalar ayırır. Bu teoremə Fales teoreminin ümumiləşməsi deyilir. Teorem bucaqsız da işləyir: paralel düz xətlər istənilən iki düz xətti eyni nisbətdə bölür. İndi kağız və qələmi götürün. Bir iti bucaq çəkin: bir nöqtədən iki şüa çıxsın. Sonra bu bucağı kəsən üç paralel xətt çəkin. Dəftərin xətləri buna çox yarayır. Bir neçə saniyə vaxt verirəm. Hazırdır? İndi hər tərəfdə iki qonşu parçanı ölçün və qısa parçanı uzun parçaya bölün. İki nisbət demək olar ki, eyni çıxacaq. İndi sizə bir sual. Anası tortun o biri tərəfini daha çəp kəsir. Bu dəfə biskvit qatı çəp kəsikdə on altı santimetr çıxır. Krem qatı çəp kəsikdə nə qədər olacaq? Fikirləşin. Cavab: dörd santimetr. Biskvit kremdən dörd dəfə uzundur, bu, hər kəsikdə belədir. On altı santimetri dörd bərabər hissəyə bölürük və dörd santimetr alırıq. Röyanın səhvi indi aydındır. O, fərqi saxlamaq istəyirdi: hər qata bir santimetr əlavə etmək. Teorem isə nisbəti saxlayır. İkinci fəsil: tərs teorem. Anası düzbucaqlı bir tortu diaqonalı boyunca kəsir və üçbucaq parçalar alınır. Düz bucaqlı küncdən çıxan qısa tərəf səkkiz santimetrdir, uzun tərəf on iki santimetr. Röya bu parçanın üstündə diaqonal kəsiyə paralel bir şokolad zolağı çəkmək istəyir. Qısa tərəfdə küncdən altı santimetr aralıda bir nöqtə qoyur. Uzun tərəfdə küncdən doqquz santimetr aralıda ikinci nöqtəni qoyur. Bu nöqtələri birləşdirən zolaq diaqonal kəsiyə paralel olacaqmı? Burada tərs teorem kömək edir. Dərslik deyir: bucağın tərəfləri üzərində təpədən başlamaqla mütənasib parçalar ayıran kəsənlər paraleldir. Açar söz budur: təpədən başlamaqla. Hər tərəfdə küncdən nöqtəyə qədər olan parçanı nöqtədən sona qədər olan parça ilə müqayisə edirik. Qısa tərəfdə altı santimetr və qalan iki santimetr. Altı santimetr iki santimetrdən üç dəfə uzundur. Uzun tərəfdə doqquz santimetr və qalan üç santimetr. Doqquz santimetr də üç santimetrdən üç dəfə uzundur. Nisbətlər bərabərdir, deməli, zolaq diaqonal kəsiyə paraleldir. İndi Röya ikinci zolağı sınayır. Qısa tərəfdə nöqtə küncdən yeddi santimetr aralıdadır. Uzun tərəfdə nöqtə küncdən on bir santimetr aralıdadır. Hər iki tərəfdə kənara qədər eyni məsafə qalır: bir santimetr. Röya sevinir: “Qalan hissələr bərabərdir, deməli, zolaq paraleldir!” Sizcə, Röya haqlıdır? Fikirləşin. Röya bu dəfə səhv edir. Qısa tərəfdə yeddi santimetr birdən yeddi dəfə böyükdür. Uzun tərəfdə on bir santimetr birdən on bir dəfə böyükdür. Nisbətlər fərqlidir, ona görə zolaq əyri düşür: uzun tərəfdəki ucu diaqonala bir az daha yaxındır. Bərabər qalıqlar burada yanıldır, həlledici olan nisbətdir. Bu, birinci fəslin dərsidir: fərqə yox, nisbətə baxırıq. Üçüncü fəsil: medianlar. Sobada üçbucaq formalı böyük peçenyelər bişib. Anası hər peçenyenin üstünə kremlə üç xətt çəkir. Hər xətt bir təpədən başlayır və qarşı tərəfin tam ortasında bitir. Belə parçaya median deyilir. Üçbucağın üç medianı var. Röya maraqlı bir şey görür: üç krem xətti hər peçenyedə bir nöqtədə kəsişir. Dərslik bunu teorem kimi verir: üçbucağın medianları bir nöqtədə kəsişir və kəsişmə nöqtəsi hər bir medianı təpədən başlayaraq ikinin birə nisbətində bölür. Bu nöqtəyə üçbucağın ağırlıq mərkəzi deyilir. Məsələn, bir krem xəttinin uzunluğu on beş santimetrdir. Bu xətti üç bərabər paya bölək, hər pay beş santimetr. Təpədən kəsişmə nöqtəsinə qədər iki pay var, yəni on santimetr. Kəsişmə nöqtəsindən tərəfin ortasına qədər bir pay var, yəni beş santimetr. Teoremin isbatı da mütənasib parçalara söykənir: köməkçi paralel xətt çəkilir və teorem iki dəfə tətbiq olunur. Addımları oxu dərsində tapa bilərsiniz. Sizə sual. Başqa bir peçenyedə krem xəttinin təpədən kəsişmə nöqtəsinə qədər olan hissəsi on altı santimetrdir. Bütün xəttin uzunluğu nə qədərdir? Fikirləşin. Cavab: iyirmi dörd santimetr. Uzun hissə iki pay, qısa hissə bir paydır. İki pay on altı santimetrdirsə, bir pay səkkiz santimetrdir. Bütün xətt üç paydır: on altı santimetr və səkkiz santimetr, cəmi iyirmi dörd santimetr. Yadda saxlayın: uzun hissə həmişə təpə tərəfdədir. Nisbəti tərsinə götürmək ən çox rast gəlinən səhvdir. Dördüncü fəsil: tənbölən. İndi başqa bir peçenyeyə baxaq. Bu peçenyenin bir küncündən çıxan tərəflərdən biri doqquz santimetrdir, o biri on beş santimetr. Qarşı tərəf isə on altı santimetrdir. Anası bu küncdən kremlə elə bir xətt çəkir ki, bucağı tam yarıya bölür. Belə xəttə bucağın tənböləni deyilir. Tənbölən qarşı tərəfi harada kəsir? Tam ortada? Dərslik cavab verir: üçbucağın tənböləni çəkildiyi tərəfi digər iki tərəflə mütənasib hissələrə bölür. Doqquzun on beşə nisbəti üçün beşə nisbətidir. Deməli, qarşı tərəf də üçün beşə nisbətində bölünür. On altı santimetri səkkiz bərabər paya bölürük, hər pay iki santimetr. Qısa tərəfə yaxın hissə üç paydır, yəni altı santimetr. Uzun tərəfə yaxın hissə beş paydır, yəni on santimetr. Tənbölənin ucu qısa tərəfə daha yaxın düşür. Qarşı tərəfi yarıya bölən median idi. Tənbölən isə bucağı yarıya bölür. Sizə sual. Üçbucağın bir küncündən çıxan tərəflərdən biri beş santimetrdir, o biri on santimetr. Qarşı tərəf on iki santimetrdir. Bu küncün tənböləni qarşı tərəfi hansı hissələrə bölür? Fikirləşin. Cavab: dörd santimetr və səkkiz santimetr. Beş santimetr on santimetrin yarısıdır. Deməli, qarşı tərəf birin ikiyə nisbətində bölünür. On iki santimetri üç bərabər paya bölürük, hər pay dörd santimetr. Qısa tərəfə yaxın hissə bir paydır, yəni dörd santimetr. Uzun tərəfə yaxın hissə iki paydır, yəni səkkiz santimetr. Beşinci fəsil: parçanı verilmiş nisbətdə bölmək. Anası xəmirdən uzun bir zolaq açıb, uzunluğu qırx santimetrdir. Bu zolağı iki içliyə bölmək lazımdır, üçün beşə nisbətində. Hesabla bunu tapmaq asandır, amma dərslik bunu pərgar və xətkeşlə qurmağı öyrədir. Gəlin kağızda birlikdə edək. Birinci addım: bir parça çəkin, bu, xəmir zolağıdır. Parçanın sol ucundan iti bucaq altında bir şüa çəkin. İkinci addım: pərgarı istədiyiniz qədər açın və şüa üzərində ardıcıl səkkiz bərabər addım qeyd edin. Səkkiz, çünki üç payla beş payın cəmi səkkizdir. Üçüncü addım: səkkizinci qeydi parçanın sağ ucu ilə birləşdirin. Dördüncü addım: üçüncü qeyddən bu xəttə paralel bir xətt çəkin. Bu paralel xəttin parçanı kəsdiyi nöqtə axtardığımız bölmə nöqtəsidir. Niyə doğrudur? Şüa üzərində solda üç addım, sağda beş addım var. Paralel xətlər bu nisbəti parçaya daşıyır, bu, mütənasib parçalar haqqında teoremdir. Hesabla yoxlayaq. Qırx santimetri səkkiz paya bölürük, hər pay beş santimetr. Üç pay on beş santimetrdir. Beş pay iyirmi beş santimetrdir. Gəlin şirniyyat sexinə qayıdaq. Qapının zəngi çalır: sifarişçi tortu aparmağa gəlib. Şokolad lent artıq kəsilib, uzunluğu on iki santimetrdir və biskvitin kənarına tam oturur. Röya izah edir: “Çəp kəsik hər qatı bir yarım dəfə uzatdı. Krem iki santimetrdən üç santimetr oldu. Biskvit səkkiz santimetrdən on iki santimetr oldu. Mən fərqi saxlamaq istəyirdim, paralel xətlər isə nisbəti saxlayır.” Anası əlavə edir: “Fales teoremi bərabər parçaları daşıyırdı. Ümumiləşmiş teorem istənilən nisbəti daşıyır.” Yadda saxlamağa bir fikir: paralel düz xətlər parçaların uzunluğunu dəyişə bilər, nisbətini isə saxlayır. Tərs teorem nisbətdən paralelliyi tanıyır, parçalar isə təpədən sayılır. Medianlar ikinin birə nisbətində bölünür, uzun hissə təpə tərəfdədir. Tənbölən qarşı tərəfi qonşu tərəflərin nisbətində bölür. Ətraflı nümunələr oxu dərsində və videoda sizi gözləyir. Sonda düşünmək üçün bir sual. Üç qatlı bir tortun düz kənarında ən nazik qat bir santimetrdir, ortadakı iki santimetr, ən qalın qat üç santimetr. Çəp kəsikdə bütün hündürlük on iki santimetr çıxır. Ən qalın qat çəp kəsikdə nə qədər olacaq? Cavabı özünüz tapın. Dinlədiyiniz üçün sağ olun, növbəti dərsdə görüşənədək!